12. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Question

Вопрос:

12. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойством площадей треугольников, имеющих общий угол. 1. Площадь треугольника $AMK$ вычисляется по формуле: $S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AM \cdot \sin A = 5$. 2. Рассмотрим треугольник $ABM$. Его площадь относится к площади $AMK$ как произведение сторон, образующих угол $A$: $\frac{S_{ABM}}{S_{AMK}} = \frac{AB \cdot AM}{AK \cdot AM} = \frac{AB}{AK}$. Так как по условию $AK = \frac{1}{3} AB$, то $\frac{AB}{AK} = 3$. Значит, $S_{ABM} = 3 \cdot S_{AMK} = 3 \cdot 5 = 15$. 3. Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, она делит его на два равновеликих треугольника: $ABM$ и $BMC$. Следовательно, $S_{ABM} = S_{BMC} = 15$. 4. Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей $ABM$ и $BMC$: $S_{ABC} = S_{ABM} + S_{BMC} = 15 + 15 = 30$. **Ответ: 30.**

12. В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = 1/3 AB. Площадь треугольника AMK равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.

Ответ ассистента

Другие решения