Вычислить неопределенный интеграл

Решение экзаменационных задач: ### Билет № 25 1. Неопределенный интеграл: Пусть $u = \text{arctg } x$, тогда $du = \frac{1}{1+x^2} dx$. $\int \frac{\text{arctg}^3 x}{1+x^2} dx = \int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{\text{arctg}^4 x}{4} + C$. 2. Производные: а) $y = (7x^5 - 3\sqrt[3]{x^2} - 6)^4$ Это производная сложной функции: $y' = 4(7x^5 - 3x^{2/3} - 6)^3 \cdot (35x^4 - 2x^{-1/3})$. г) $y = 2^{x^2+1} - x \sin 4x$ $y' = 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 \cdot (2x) - (1 \cdot \sin 4x + x \cdot \cos 4x \cdot 4) = 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 \cdot 2x - \sin 4x - 4x \cos 4x$. 3. Дифференциальное уравнение $(x^2 + y^2)y' = 2xy$: Это уравнение в полных дифференциалах. $2xy dx - (x^2 + y^2) dy = 0$. Проверка: $\frac{\partial P}{\partial y} = 2x$, $\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x$. Не является уравнением в полных дифференциалах. Или делим на $dx$: $y' = \frac{2xy}{x^2+y^2}$. Это однородное уравнение. Замена $y = ux, y' = u'x + u$. $u'x + u = \frac{2x(ux)}{x^2+(ux)^2} = \frac{2x^2u}{x^2(1+u^2)} = \frac{2u}{1+u^2}$. $u'x = \frac{2u}{1+u^2} - u = \frac{2u - u - u^3}{1+u^2} = \frac{u - u^3}{1+u^2} = \frac{u(1-u^2)}{1+u^2}$. $\frac{1+u^2}{u(1-u^2)} du = \frac{dx}{x}$. Разложение: $\frac{1}{u} + \frac{2u}{1-u^2} du = \frac{dx}{x}$. $\ln |u| - \ln |1-u^2| = \ln |x| + \ln C$. $\frac{u}{1-u^2} = Cx$. Возвращаясь к $y/x$: $\frac{y/x}{1-y^2/x^2} = Cx \Rightarrow \frac{xy}{x^2-y^2} = Cx \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{y}{C} = Cy_1$. Ответ: $x^2 - y^2 = Cy$. ### Билет № 19 1. Неопределенный интеграл: $\int \frac{2\text{arctg } 2x}{1+4x^2} dx$. Пусть $u = \text{arctg } 2x$, тогда $du = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 dx = \frac{2}{1+4x^2} dx$. Интеграл равен $\int u du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\text{arctg}^2 2x}{2} + C$. 2. Производные: а) $y = (7x^5 - 3\sqrt[3]{x^2} - 6)^4$ (см. решение в билете 25). в) $y = \text{arctg}\sqrt{x-1}$ $y' = \frac{1}{1 + (\sqrt{x-1})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2x\sqrt{x-1}}$. 3. Дифференциальное уравнение $xy' + y = 3$: Это линейное уравнение $y' + \frac{1}{x}y = \frac{3}{x}$. Решение через интегрирующий множитель $e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$. $(xy)' = 3 \Rightarrow xy = 3x + C \Rightarrow y = 3 + \frac{C}{x}$.