1. Вычислить неопределенный интеграл (интеграл e^x / (1 + e^2x))

Привет! Давай разберем задачи из твоего билета №20. ### 1. Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{e^x dx}{1 + e^{2x}}$ Сделаем замену переменной $t = e^x$, тогда $dt = e^x dx$. Получаем интеграл: $\int \frac{dt}{1 + t^2} = \operatorname{arctg}(t) + C$ Вернемся к переменной $x$: **Ответ: $\operatorname{arctg}(e^x) + C$** ### 2. Найти производные функций а) $y = (7x^5 - 3x^{\frac{2}{3}} - 6)^4$ Применяем правило производной сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$: $y' = 4(7x^5 - 3x^{\frac{2}{3}} - 6)^3 \cdot (7 \cdot 5x^4 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 0)$ $y' = 4(7x^5 - 3\sqrt[3]{x^2} - 6)^3 \cdot (35x^4 - 2x^{-\frac{1}{3}})$ **Ответ: $y' = 4(7x^5 - 3\sqrt[3]{x^2} - 6)^3 \cdot (35x^4 - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})$** в) $y = \arcsin\sqrt{1-x}$ Применяем правило производной арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} u'$ и производную корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} u'$: $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1-x})^2}} \cdot (\sqrt{1-x})'$ $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (1-x)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (-1)$ $y' = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = \frac{-1}{2\sqrt{x(1-x)}}$ **Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x-x^2}}$** ### 3. Найти решение уравнения $y'\cos x = (y+1)\sin x$ Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: $\frac{dy}{dx} \cos x = (y+1)\sin x$ Разделим переменные: $\frac{dy}{y+1} = \frac{\sin x}{\cos x} dx$ Интегрируем обе части: $\int \frac{dy}{y+1} = \int \operatorname{tg} x dx$ $\ln |y+1| = -\ln |\cos x| + C$ $\ln |y+1| + \ln |\cos x| = C$ $\ln |(y+1)\cos x| = C$ $(y+1)\cos x = C_1$ **Ответ: $y = \frac{C}{\cos x} - 1$**