Найти решение xy' - 3y = x^4e^x; y0 = e, x0 = 1

### Экзаменационный билет № 4 1. **Решение дифференциального уравнения:** $xy' - 3y = x^4 e^x$, $y(1) = e$. Разделим на $x$ (предполагая $x \neq 0$): $y' - \frac{3}{x}y = x^3 e^x$. Это линейное уравнение вида $y' + p(x)y = q(x)$. Интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln|x|} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. Умножим обе части на $\frac{1}{x^3}$: $(\frac{y}{x^3})' = e^x$ Интегрируем: $\frac{y}{x^3} = \int e^x dx = e^x + C \implies y = x^3 e^x + Cx^3$. Используя $y(1) = e$: $e = 1^3 (e^1 + C) \implies e = e + C \implies C = 0$. **Ответ:** $y = x^3 e^x$. 2. **Нахождение производных:** a) $y = (3x^8 + 5x^{2/5} - 3)^5$. Используем производную сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$: $y' = 5(3x^8 + 5x^{2/5} - 3)^4 \cdot (24x^7 + 2x^{-3/5})$. г) $y = \sqrt{x} \text{ctg} 3x - 2x^2$. Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \text{ctg} 3x + \sqrt{x} \cdot (-\frac{3}{\sin^2 3x}) - 4x = \frac{\text{ctg} 3x}{2\sqrt{x}} - \frac{3\sqrt{x}}{\sin^2 3x} - 4x$. 3. **Вычисление интеграла:** $\int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x} dx$. Замена: $t = 1+\ln x$, тогда $dt = \frac{1}{x} dx$. $\int \sqrt{t} dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (1+\ln x)^{3/2} + C$. ### Экзаменационный билет № 27 1. **Вычисление интеграла:** $\int e^{\cos 2x} \cdot \sin 2x dx$. Замена: $t = \cos 2x$, тогда $dt = -2 \sin 2x dx \implies \sin 2x dx = -\frac{1}{2} dt$. $\int e^t (-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2} e^t + C = -\frac{1}{2} e^{\cos 2x} + C$. 2. **Нахождение производных:** a) $y = (5x^2 + 4x^{5/4} + 3)^3$. $y' = 3(5x^2 + 4x^{5/4} + 3)^2 \cdot (10x + 5x^{1/4})$. г) $y = e^{3x} - 2x \text{tg} 3x$. $y' = 3e^{3x} - (2 \text{tg} 3x + 2x \cdot \frac{3}{\cos^2 3x}) = 3e^{3x} - 2 \text{tg} 3x - \frac{6x}{\cos^2 3x}$. 3. **Решение дифференциального уравнения:** $y' \cos x = (y+1) \sin x$. Разделяем переменные: $\frac{dy}{y+1} = \frac{\sin x}{\cos x} dx$. Интегрируем: $\ln|y+1| = -\ln|\cos x| + C$. $y+1 = \frac{C}{\cos x} \implies y = \frac{C}{\cos x} - 1$.