Задание 8. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость. Решение поясните геометрически.

Для вычисления несобственного интеграла $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям дважды. Пусть $I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx$. 1. Применим интегрирование по частям: $u = \sin x$, $dv = e^{-x} \, dx \implies du = \cos x \, dx$, $v = -e^{-x}$. $I = [-e^{-x} \sin x]_0^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-x}) \cos x \, dx = (0 - 0) + \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos x \, dx$. 2. Снова интегрируем по частям для интеграла $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos x \, dx$: $u = \cos x$, $dv = e^{-x} \, dx \implies du = -\sin x \, dx$, $v = -e^{-x}$. $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos x \, dx = [-e^{-x} \cos x]_0^{\infty} - \int_{0}^{\infty} (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = (0 - (-1)) - \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx = 1 - I$. 3. Получаем уравнение: $I = 1 - I \implies 2I = 1 \implies I = 0.5$. **Геометрическая интерпретация** Графически этот интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей криволинейных фигур, ограниченных функцией $f(x) = e^{-x} \sin x$ и осью $Ox$. Поскольку функция знакопеременная, области над осью $Ox$ (где $\sin x > 0$) считаются положительными, а под осью — отрицательными. Из-за множителя $e^{-x}$ амплитуда колебаний быстро затухает, и площадь каждой последующей «волны» меньше предыдущей. :::div .chart-container @chart-1::: Подписи: - Ось $Ox$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi \dots$ - График: затухающая синусоида. - Штриховка: заштрихуйте области между графиком и осью $Ox$ на всей положительной полупрямой. Важно показать, что площади уменьшаются при стремлении $x \to \infty$.