1) Вычислить: a) (81 * a^-8)^-3/4 ; b) 0,7 * √[4](81) - 4 * √[3](3 3/8)

### 1) Вычислить: a) $(81 \cdot a^{-8})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot a^{-8 \cdot (-\frac{3}{4})} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} \cdot a^6 = 3^{-3} \cdot a^6 = \frac{a^6}{27}$ b) $0,7 \cdot \sqrt[4]{81} - 4 \cdot \sqrt[3]{3 \frac{3}{8}} = 0,7 \cdot 3 - 4 \cdot \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 2,1 - 4 \cdot \frac{3}{2} = 2,1 - 6 = -3,9$ ### 2) Решить показательное уравнение: a) $2^x = 16 \Rightarrow 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4$ b) $5^x - 5^{x-2} = 600 \Rightarrow 5^x - \frac{5^x}{25} = 600 \Rightarrow 5^x(1 - \frac{1}{25}) = 600 \Rightarrow 5^x \cdot \frac{24}{25} = 600 \Rightarrow 5^x = 600 \cdot \frac{25}{24} = 25 \cdot 25 = 625 \Rightarrow 5^x = 5^4 \Rightarrow x = 4$ ### 3) Решить логарифмическое уравнение: a) $\log_3(4 - 5x) = 2 \Rightarrow 4 - 5x = 3^2 \Rightarrow 4 - 5x = 9 \Rightarrow -5x = 5 \Rightarrow x = -1$ b) $\log_2(x^2 - 3x) = 2 \Rightarrow x^2 - 3x = 2^2 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = 4, x_2 = -1$. Проверка: оба корня подходят, так как $x^2-3x > 0$ при $x=4$ и $x=-1$. ### 4) Решить иррациональное уравнение: $\sqrt{2-x} = x$. Возведем в квадрат: $2-x = x^2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = -2, x_2 = 1$. Проверка: если $x=-2, \sqrt{2-(-2)} = 2 \neq -2$ (посторонний корень). Если $x=1, \sqrt{2-1} = 1 = 1$ (верно). Ответ: $x=1$. ### 5) Решить тригонометрические уравнения: a) $\cos\frac{x}{7} = 1 \Rightarrow \frac{x}{7} = 2\pi n, n \in Z \Rightarrow x = 14\pi n$ b) $\sin(\frac{\pi}{5} + 2x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{5} + 2x = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k \Rightarrow \frac{\pi}{5} + 2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$ $2x = (-1)^k \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$ ### 6) Вычислить значение производной: $f(x) = x^3 - 4x^2 + 8x \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 8x + 8$. *(В задании пропущена точка, если нужно значение в точке $x_0$, подставьте его в $f'(x)$)* ### 7) Вычислить интеграл: $\int_{0}^{1}(4x^3 + 3x - 2) dx = [\frac{4x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} - 2x]_0^1 = [x^4 + 1,5x^2 - 2x]_0^1 = (1 + 1,5 - 2) - (0) = 0,5$