1.Найти объем тела, полученного вращением прямоугольника, со сторонами 10см и 8см, вокруг большей стороны.

1. При вращении прямоугольника вокруг большей стороны (10 см) образуется цилиндр, радиус которого равен меньшей стороне прямоугольника ($r = 8$ см), а высота равна большей стороне ($h = 10$ см). Объем цилиндра $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 8^2 \cdot 10 = \pi \cdot 64 \cdot 10 = 640\pi$ см$^3$. 2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета (12 см) образуется конус, радиус которого равен меньшему катету ($r = 5$ см), а высота равна большему катету ($h = 12$ см). Объем конуса $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$ см$^3$. 3. Площадь поверхности сферы $S = 4\pi R^2 = 100\pi$. Разделим на $4\pi$: $R^2 = 25$, откуда $R = 5$ см. Объем шара $V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \approx 166{,}67\pi$ см$^3$. 4. Объем куба $V_{куба} = a^3 = 27$. Значит, сторона куба $a = 3$ см. Шар, вписанный в куб, имеет диаметр, равный стороне куба ($d = a = 3$ см), поэтому его радиус $R = 1{,}5$ см. Объем шара $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot (1{,}5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 3{,}375 = 4{,}5\pi$ см$^3$. 5. Конус, вписанный в цилиндр, имеет тот же радиус основания и ту же высоту, что и цилиндр. Объем конуса $V_{конуса} = \frac{1}{3} V_{цилиндра}$. По условию $V_{конуса} = 100\pi$ см$^3$. Тогда $V_{цилиндра} = 3 \cdot V_{конуса} = 3 \cdot 100\pi = 300\pi$ см$^3$.