1. (1 балл) Вычислите: 6sin 5π/6 + 2cos 2π/3

Привет! Давай разберем твои задания по очереди. 1. $6\sin\frac{5\pi}{6} + 2\cos\frac{2\pi}{3} = 6 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3 - 1 = 2$. **Ответ: 2.** 2. Смотрим на график: точки выше уровня 2 (миллиметра) находятся на днях: 10, 11, 14, 16, 17, 18. Всего 6 дней. **Ответ: 6.** 3. После повышения на 30% цена стала 1.3 от старой. $1.3x = 26 \Rightarrow x = 20$ рублей. $115 : 20 = 5$ целых билетов. **Ответ: 5.** 4. Всего пирожков: $8 + 5 + 3 = 16$. Пирожков с капустой 8. Вероятность $P = \frac{8}{16} = 0.5$. **Ответ: 0.5.** 5. $\log_5 5 + \log_5 125 = 1 + 3 = 4$. **Ответ: 4.** 6. $3^{x+2} \ge 3^{2(3x+1)} \Rightarrow x+2 \ge 6x+2 \Rightarrow -5x \ge 0 \Rightarrow x \le 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.** 7. $\sqrt{3-2x} = x$. Возведем в квадрат: $3-2x = x^2$ (при условии $x \ge 0$). $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$ (не подходит, так как $-3 < 0$). **Ответ: 1.** 8. $\frac{x+5}{2x+7} = \frac{2}{5} \Rightarrow 5(x+5) = 2(2x+7) \Rightarrow 5x+25 = 4x+14 \Rightarrow x = -11$. **Ответ: -11.** 9. Фигура — трапеция. Основания $a=3$, $b=6$, высота $h=3$. Площадь $S = \frac{3+6}{2} \cdot 3 = 13.5$. **Ответ: 13.5.** 10. Вращаем вокруг большей стороны (9 см). Радиус $r=3$, высота $h=9$. Объем $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 9 = 81\pi$. Делим на $\pi$: 81. **Ответ: 81.** 11. $f'(x) = (6x^3 + 5x^2 - 3x + 5)' = 18x^2 + 10x - 3$. При $x=1$: $18 + 10 - 3 = 25$. **Ответ: 25.** 12. Скорость $v(t) = S'(t) = 12t^2 - 10t$. При $t=1$: $12(1)^2 - 10(1) = 2$. **Ответ: 2.** 13. Точки пересечения: $x^2-1 = -x^2+2 \Rightarrow 2x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1.5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{1.5}$. Площадь $S = \int_{-\sqrt{1.5}}^{\sqrt{1.5}} ((-x^2+2) - (x^2-1)) dx = \int_{-\sqrt{1.5}}^{\sqrt{1.5}} (3 - 2x^2) dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{1.5}} (3 - 2x^2) dx = 2 [3x - \frac{2}{3}x^3]_0^{\sqrt{1.5}} = 2(3\sqrt{1.5} - \frac{2}{3} \cdot 1.5\sqrt{1.5}) = 2(3\sqrt{1.5} - \sqrt{1.5}) = 4\sqrt{1.5} \approx 4.899$. **Ответ: $4\sqrt{1.5}$ или $\sqrt{24}$.** 14. $\sin x (\sin x - 2) = 0$. $\sin x = 0$ или $\sin x = 2$ (корней нет). $\sin x = 0$ на $[0; 4\pi]$ в точках $0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$. Всего 5 решений. **Ответ: 5.** 15. Разобьем на два прямоугольных параллелепипеда. Слева: $1 \times 2 \times 3 = 6$. Справа: $1 \times 1 \times 3 = 3$. Всего $6 + 3 = 9$. **Ответ: 9.** 16. Пусть $x$ — производительность второго. Тогда $x+5$ — производительность первого. $\frac{126}{x} - \frac{126}{x+5} = 5$. $126(x+5) - 126x = 5x(x+5) \Rightarrow 630 = 5x^2 + 25x \Rightarrow x^2 + 5x - 126 = 0$. Корни: $x = 9$ (так как производительность > 0). Производительность первого $9+5=14$. **Ответ: 14.**