Привет! Давай разберем задачи. Так как их очень много, я буду решать их по порядку. Если тебе нужно что-то конкретное из списка, напиши номер, и я распишу его подробнее!
1. Цена ноутбука:
$45000 \cdot 0.9 = 40500$ (после снижения на 10%).
$40500 \cdot 1.15 = 46575$. Ответ: 46 575 руб.
2. Отступы и контент:
Отступ: $1440 \cdot 0.05 = 72$ px. С двух сторон: $144$ px.
Контент: $1440 - 144 = 1296$ px.
3. Снижение времени:
$(120 - 90) / 120 = 30/120 = 0.25$ или $25\%$.
4. Уравнение $\frac{3x+1}{2} - \frac{5x-2}{3} = 2x - 1$:
Умножим на 6: $3(3x+1) - 2(5x-2) = 6(2x-1)$
$9x + 3 - 10x + 4 = 12x - 6$
$-x + 7 = 12x - 6 \Rightarrow 13 = 13x \Rightarrow x = 1$.
5. Вектор АВ(1-3, 5-(-2), -3-4) = (-2, 7, -7).
Длина: $\sqrt{(-2)^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{4+49+49} = \sqrt{102}$.
Единичный вектор: $(-\frac{2}{\sqrt{102}}, \frac{7}{\sqrt{102}}, -\frac{7}{\sqrt{102}})$.
6. Куб с ребром 2. Угол между $A_1C_1$ (диагональ грани) и $B_1D$ (диагональ грани). Это диагонали квадратов, они перпендикулярны. Ответ: 90°.
7. $\frac{\cos^2 x}{1-\sin x} - \sin x = \frac{1-\sin^2 x}{1-\sin x} - \sin x = (1+\sin x) - \sin x = 1$.
8. $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$. Пусть $t = \cos x$ ($|t| \le 1$).
$2t^2 - 3t - 2 = 0$. Корни: $t = 2$ (не подходит) и $t = -0.5$.
$\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
9. $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$. Сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$. Нули: $x + \frac{\pi}{3} = \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
10. $y(t) = 5\sin(2\pi t) + 10$.
Амплитуда: 5. Частота (коэффициент перед t): $2\pi$ (круговая) или $f=1$ Гц. Средняя высота: 10.
11. Производная $f'(x) = (x^2 e^x)' - (\frac{\ln x}{x})' = (2x e^x + x^2 e^x) - \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
12. $y = x^3 - 4x$, $x_0 = -1$, $y_0 = (-1)^3 - 4(-1) = 3$. $y' = 3x^2 - 4$. $y'(-1) = 3 - 4 = -1$.
Уравнение: $y - 3 = -1(x + 1) \Rightarrow y = -x + 2$.
13. $S = xy = 500$, $P = 2x + y = 2x + 500/x$. $P' = 2 - 500/x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 250 \Rightarrow x = 5\sqrt{10}$, $y = 10\sqrt{10}$.
14. $F(x) = \int (4x^3 - 2x^{-2} + \cos x) dx = x^4 + 2x^{-1} + \sin x + C$.
$F(1) = 1 + 2 + 0 + C = 3 \Rightarrow C = 0$. $F(x) = x^4 + 2/x + \sin x$.
15. $\int_{0}^{2} (x^2 - 4) dx = [x^3/3 - 4x]_0^2 = 8/3 - 8 = -16/3$. Площадь = $16/3 \approx 5.33$.
16. Пирамида: $a=10$, боковое ребро $l=13$. Апофема $h_b = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. Высота $H = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119}$.
$S_{бок} = 4 \cdot (1/2 \cdot 10 \cdot 12) = 240$.
17. Цилиндр (вращение 8x12 вокруг 8): $R=12, H=8$. $V = \pi R^2 H = 1152\pi$. $S = 2\pi R^2 + 2\pi RH = 288\pi + 192\pi = 480\pi$.
18. Радиус шара $R=10$, расстояние $d=6$. Радиус сечения $r = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
19. Усеченный конус: $V = 1/3 \pi H (R^2 + Rr + r^2) = 1/3 \pi \cdot 15 (64 + 32 + 16) = 5 \cdot 112 \pi = 560\pi$.
20. $4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$. Пусть $t = 2^x > 0$.
$t^2 - 2t - 8 = 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) = 0$. $t=4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x=2$.
21. $\log_3(2x+1) < 2 \Rightarrow 0 < 2x+1 < 3^2$. $2x+1 < 9 \Rightarrow 2x < 8 \Rightarrow x < 4$. Условие $2x+1>0 \Rightarrow x > -0.5$. Ответ: $(-0.5; 4)$.
22. $T(65536) / T(256) = \log_2(65536) / \log_2(256) = 16 / 8 = 2$. Замедлится в 2 раза.
23. $L_2 = 16 L_1 \Rightarrow 2^{n_2} = 16 \cdot 2^{n_1} \Rightarrow 2^{n_2} = 2^4 \cdot 2^{n_1} = 2^{n_1+4}$. $n$ увеличится на 4.
24. $\log_5(75) + \log_5(125) - \log_5(3) = \log_5(75 \cdot 125 / 3) = \log_5(25 \cdot 125) = \log_5(5^2 \cdot 5^3) = \log_5(5^5) = 5$.
25. $n=50, p = 20/10000 = 0.002$. Формула Пуассона: $P(k=0) = e^{-\lambda} = e^{-np} = e^{-50 \cdot 0.002} = e^{-0.1} \approx 0.9048$.
26. Мат. ожидание $E = 1\cdot0.2 + 2\cdot0.3 + 3\cdot0.4 + 4\cdot0.1 = 0.2 + 0.6 + 1.2 + 0.4 = 2.4$.
$E(X^2) = 1\cdot0.2 + 4\cdot0.3 + 9\cdot0.4 + 16\cdot0.1 = 0.2 + 1.2 + 3.6 + 1.6 = 6.6$.
Дисперсия $D = 6.6 - (2.4)^2 = 6.6 - 5.76 = 0.84$.
27. Конверсия А: $80/1000 = 8\%$. Конверсия B: $108/1200 = 9\%$. B выше на 1% (абсолютно) или на $(9-8)/8 = 12.5\%$.
28. Выборка: 2.3, 2.8, 3.1, 2.5, 2.7, 2.9, 3.2. Сумма = 19.5, $n=7$. Ср. знач = 19.5/7 $\approx 2.78$.
