Привет! Давай решим иррациональные уравнения из задания 12.5. Вот основные ответы:
1) $\sqrt{x} = 2 - x$. Возведем в квадрат (при $2-x \ge 0, x \le 2$): $x = 4 - 4x + x^2 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни $x=1, x=4$. $x=4$ не подходит ($4 > 2$). **Ответ: 1.**
2) $x - \sqrt{x+1} = 1 \Rightarrow x-1 = \sqrt{x+1}$. Возводим в квадрат: $x^2 - 2x + 1 = x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 0$. Корни $x=0, x=3$. Проверка: $0$ не подходит, $3$ подходит. **Ответ: 3.**
3) $(x^2 - 9)\sqrt{2 - x} = 0$. Или $\sqrt{2-x}=0$ ($x=2$), или $x^2-9=0$ ($x=3, x=-3$). Условие $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. **Ответ: -3; 2.**
4) $(x^2 - 4)\sqrt{x+5} = 0$. Условие $x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -5$. Или $\sqrt{x+5}=0$ ($x=-5$), или $x^2-4=0$ ($x=2, x=-2$). Все подходят. **Ответ: -5; -2; 2.**
5) $x - 1 = \sqrt{x + 5}$. Квадрат: $x^2 - 2x + 1 = x + 5 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни: $x=4, x=-1$. Проверка: $x=-1$ дает $-2 = 2$ (неверно). **Ответ: 4.**
6) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$. Квадрат обеих частей: $x+1 + x-1 + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1 \Rightarrow 2\sqrt{x^2-1} = x$. Квадрат: $4(x^2-1) = x^2 \Rightarrow 3x^2 = 4 \Rightarrow x = 2/\sqrt{3}$. **Ответ: 2/\sqrt{3}.**
7) $\sqrt{5x-5} + \sqrt{10x-5} = \sqrt{15x-10}$. Упростим: $\sqrt{5}(\sqrt{x-1} + \sqrt{2x-1}) = \sqrt{5}\sqrt{3x-2}$. Возведем в квадрат: $x-1 + 2x-1 + 2\sqrt{(x-1)(2x-1)} = 3x-2 \Rightarrow 2\sqrt{2x^2-3x+1} = 0 \Rightarrow x=1$ или $x=0.5$. Проверка показывает, что $x=1$ — верный корень. **Ответ: 1.**
8) $\sqrt{6x+1} - \sqrt{x-3} = \sqrt{3x+4}$. Квадрат: $6x+1 + x-3 - 2\sqrt{(6x+1)(x-3)} = 3x+4 \Rightarrow 4x-6 = 2\sqrt{6x^2-17x-3} \Rightarrow 2x-3 = \sqrt{6x^2-17x-3}$. Квадрат: $4x^2 - 12x + 9 = 6x^2 - 17x - 3 \Rightarrow 2x^2 - 5x - 12 = 0$. Корни $x=4, x=-1.5$. Условие $x\ge 3$. **Ответ: 4.**
9) $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$. Квадрат: $x + x-3 + 2\sqrt{x(x-3)} = 3x-3 \Rightarrow 2\sqrt{x^2-3x} = x$. Квадрат: $4(x^2-3x) = x^2 \Rightarrow 3x^2 - 12x = 0$. $x=0, x=4$. $x=0$ не подходит. **Ответ: 4.**
10) $\sqrt{x^2+3x+3} + \sqrt{x^2+3x-1} = \sqrt{2x^2+6x+2}$. Пусть $t = x^2+3x$. Уравнение: $\sqrt{t+3} + \sqrt{t-1} = \sqrt{2t+2}$. Квадрат: $t+3 + t-1 + 2\sqrt{(t+3)(t-1)} = 2t+2 \Rightarrow 2\sqrt{t^2+2t-3} = 0$. $t^2+2t-3=0 \Rightarrow t=1, t=-3$. $x^2+3x=1 \Rightarrow x^2+3x-1=0$. $x^2+3x=-3$ (нет корней). **Ответ: (-3±\sqrt{13})/2.**
11) $\sqrt{8-2x+x^2} = \sqrt{x^2+2} + \sqrt{6-2x}$. Квадрат: $8-2x+x^2 = x^2+2 + 6-2x + 2\sqrt{(x^2+2)(6-2x)} \Rightarrow 0 = 2\sqrt{...} \Rightarrow (x^2+2)(6-2x)=0$. $x=3$. **Ответ: 3.**
12) Замена $y = \sqrt[6]{x}$. Уравнение: $2y^2 + 5y - 18 = 0$. Корни $y=2, y=-4.5$. $\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64$. **Ответ: 64.**
13) Замена $y = \sqrt[4]{x^3+8}$. Уравнение: $y^2 + y - 6 = 0$. Корни $y=2, y=-3$. $\sqrt[4]{x^3+8}=2 \Rightarrow x^3+8=16 \Rightarrow x^3=8 \Rightarrow x=2$. **Ответ: 2.**
14) Замена $t = \sqrt{x^2+20}$. $x^2 = t^2-20$. Уравнение: $t^2-20 + t = 22 \Rightarrow t^2+t-42=0$. Корни $t=6, t=-7$. $t=-7$ не подходит. $\sqrt{x^2+20}=6 \Rightarrow x^2+20=36 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=±4$. **Ответ: ±4.**
15) Замена $t = \sqrt{x^2+2x+8}$. $x^2+2x = t^2-8$. Уравнение: $t^2-8+t = 12 \Rightarrow t^2+t-20=0$. Корни $t=4, t=-5$. $\sqrt{x^2+2x+8}=4 \Rightarrow x^2+2x+8=16 \Rightarrow x^2+2x-8=0$. Корни $x=2, x=-4$. **Ответ: -4; 2.**
