Зачет по предмету «Математика» Преподаватель: Билиджи Ясин Эминович

Привет! Давай решим твой зачет по математике по порядку. **1. Вычислите:** $\frac{\log_3 27^5 - \lg 0.001}{\sqrt[4]{16}} + (\frac{1}{2})^{-3} \cdot (-1)^{2025}$ * $\log_3 27^5 = 5 \cdot \log_3 3^3 = 5 \cdot 3 = 15$ * $\lg 0.001 = \lg 10^{-3} = -3$ * $\sqrt[4]{16} = 2$ * $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$ * $(-1)^{2025} = -1$ Подставляем: $\frac{15 - (-3)}{2} + 8 \cdot (-1) = \frac{18}{2} - 8 = 9 - 8 = 1$ **Ответ: 1** **2. Решите уравнение:** $2^{2x+1} + 2^{x+2} = 2^x + 4$ Пусть $2^x = t$ ($t > 0$). $2 \cdot t^2 + 4t = t + 4$ $2t^2 + 3t - 4 = 0$ Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$ $t = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}$ Так как $t > 0$, берем $t = \frac{-3 + \sqrt{41}}{4}$. $2^x = \frac{\sqrt{41} - 3}{4} \Rightarrow x = \log_2(\frac{\sqrt{41} - 3}{4}) = \log_2(\sqrt{41} - 3) - 2$. **3. Вычислите определенный интеграл:** $\int_1^4 (3\sqrt{x} + \frac{4}{x^2} - 2) dx$ $= \int_1^4 (3x^{1/2} + 4x^{-2} - 2) dx = [3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 2x]_1^4$ $= [2x\sqrt{x} - \frac{4}{x} - 2x]_1^4$ $= (2 \cdot 4 \cdot 2 - \frac{4}{4} - 8) - (2 \cdot 1 \cdot 1 - 4 - 2) = (16 - 1 - 8) - (2 - 4 - 2) = 7 - (-4) = 11$. **Ответ: 11** **4. Решите неравенство:** $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \le 0$ $\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \le 0$. Метод интервалов. Корни: $x=1$ (выколотая), $x=2$, $x=3$. Знаки на интервалах: $(-\infty, 1) - (-), (1, 2] - (+), [2, 3] - (-), [3, +\infty) - (+)$. Выбираем где $\le 0$: $(-\infty, 1) \cup [2, 3]$. **5. Вычислите предел:** $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}$ Домножим на сопряженные: $\lim_{x \to 4} \frac{(1+2x-9)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{1+2x}+3)(x-4)} = \lim_{x \to 4} \frac{(2x-8)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{1+2x}+3)(x-4)} = \lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{1+2x}+3)(x-4)}$ $= \frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{1+8}+3} = \frac{2 \cdot 4}{3+3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **6. Найдите производную:** $f(x) = (\frac{x^2+2}{x-1})^4$ $f'(x) = 4(\frac{x^2+2}{x-1})^3 \cdot (\frac{x^2+2}{x-1})'$ $f'(x) = 4(\frac{x^2+2}{x-1})^3 \cdot \frac{2x(x-1) - 1(x^2+2)}{(x-1)^2} = 4(\frac{x^2+2}{x-1})^3 \cdot \frac{2x^2-2x-x^2-2}{(x-1)^2}$ $f'(x) = 4\frac{(x^2+2)^3}{(x-1)^3} \cdot \frac{x^2-2x-2}{(x-1)^2} = \frac{4(x^2+2)^3(x^2-2x-2)}{(x-1)^5}$. **7. Конус:** $R=6$, угол $\alpha = 60^\circ$. Площадь боковой поверхности $S = \pi R l$. Из треугольника: $R = l \cos 60^\circ = l \cdot 0.5 \Rightarrow l = 12$. $S = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi$. **Ответ: $72\pi$** **8. Призма:** сторона основания $a=4$, наклон ребра $\alpha = 30^\circ$ (угол между диагональю боковой грани и плоскостью основания, т.е. угол между диагональю и стороной основания). Боковая грань — прямоугольник, диагональ $d$. $a = d \cos 30^\circ = d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow d = \frac{8}{\sqrt{3}}$. Высота призмы $h = d \sin 30^\circ = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot 0.5 = \frac{4}{\sqrt{3}}$. Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. Объем $V = S_{осн} \cdot h = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = 16$. **Ответ: 16** **9. Неравенство:** $\log_2(x-3) + \log_2(x-1) \ge 3$ ОДЗ: $x > 3$. $\log_2((x-3)(x-1)) \ge 3$ $x^2 - 4x + 3 \ge 2^3 = 8$ $x^2 - 4x - 5 \ge 0$ $(x-5)(x+1) \ge 0$. С учетом ОДЗ ($x>3$), решение: $[5, +\infty)$.