Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания а и высотой h. Объем пирамиды равен:

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. ### 1. Правильная четырехугольная пирамида Объем любой пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} h$. Так как пирамида правильная четырехугольная, в основании лежит квадрат со стороной $a$, значит $S_{осн} = a^2$. Следовательно, $V = \frac{1}{3} a^2 h$. **Ответ: в)** ### 2. Конус 1. Радиус основания $r$ и образующая $l = 18$ связаны через угол $\alpha = 30^\circ$ с плоскостью основания: $\cos(30^\circ) = \frac{r}{l}$. 2. $r = l \cdot \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см. 3. Площадь основания $S = \pi r^2 = \pi (9\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 81 \cdot 3 = 243\pi$ см$^2$. **Ответ: 243$\pi$ см$^2$.** ### 3. Шар 1. Радиус шара $R=8$, расстояние от центра до плоскости $d=6$. 2. Радиус сечения $r$ находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см. 3. Площадь сечения $S = \pi r^2 = \pi (\sqrt{28})^2 = 28\pi$ см$^2$. **Ответ: 28$\pi$ см$^2$.** ### 4. Цилиндр 1. Объем $V = \pi r^2 h = 72\pi$, высота $h=8$. Находим радиус: $8\pi r^2 = 72\pi \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ см. Диаметр $D = 6$. 2. Осевое сечение — прямоугольник $D \times h = 6 \times 8$, его площадь $S_{ос}= 48$. 3. Площадь сечения параллельно оси в 2 раза меньше осевого: $S_{сеч} = 24$. 4. Сечение — прямоугольник $x \times 8 = 24$, где $x$ — хорда. $x = 3$. Расстояние от оси до хорды $d$ находим из треугольника: $d = \sqrt{r^2 - (x/2)^2} = \sqrt{3^2 - 1.5^2} = \sqrt{9 - 2.25} = \sqrt{6.75} = \sqrt{27/4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3}$ см. **Ответ: $1.5\sqrt{3}$ см.** ### 5. Пирамида PABCD 1. Условие «все ребра равны» значит, что пирамида правильная, а в основании квадрат, и боковые ребра равны стороне основания $a$. Значит, все ребра равны $a$. 2. Высота $h$ в такой пирамиде: $h = \sqrt{a^2 - (a\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{a^2 - 0.5a^2} = \sqrt{0.5}a = \frac{a}{\sqrt{2}}$. 3. $V = \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^3}{3\sqrt{2}} = 144$. 4. $a^3 = 144 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 432\sqrt{2}$. $432\sqrt{2} = 216 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 216 \cdot (\sqrt{2})^3 = (6\sqrt{2})^3$. 5. $a = 6\sqrt{2}$ см. **Ответ: $6\sqrt{2}$ см.**