15. (1балл) Найдите tg α, если cos α = 1/sqrt(10) и α ∈ (3π/2; 2π).

15. Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$, $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ (IV четверть). Найдем $\sin \alpha$: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$. Так как $\alpha$ в IV четверти, $\sin \alpha < 0$, значит $\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}}$. $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = -3$. **Ответ: -3.** 16. $\log_9(-4+x) = 3$. $-4+x = 9^3 = 729$. $x = 729 + 4 = 733$. **Ответ: 733.** 17. $3^{5x-1} = 81$. $3^{5x-1} = 3^4$. $5x-1 = 4 \implies 5x = 5 \implies x = 1$. **Ответ: 1.** 18. Пусть $m_1$ — масса первого сплава, $m_2 = m_1 + 3$ — масса второго. Составим уравнение по содержанию меди: $0,1m_1 + 0,4(m_1 + 3) = 0,3(m_1 + m_1 + 3)$. $0,1m_1 + 0,4m_1 + 1,2 = 0,3(2m_1 + 3)$. $0,5m_1 + 1,2 = 0,6m_1 + 0,9$. $0,3 = 0,1m_1 \implies m_1 = 3$ кг. Масса третьего сплава: $m_1 + m_2 = m_1 + (m_1 + 3) = 2m_1 + 3 = 2(3) + 3 = 9$ кг. **Ответ: 9.** 19. $y = x^3 - 3x^2 + 2$, отрезок $[1; 4]$. Производная: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Точки экстремума: $x=0$ (вне отрезка), $x=2$ (внутри отрезка). Значения: $y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. $y(2) = 8 - 12 + 2 = -2$. $y(4) = 64 - 3(16) + 2 = 18$. Наименьшее значение $-2$. **Ответ: -2.** 20. а) $\cos 2x + \sin^2 x = 0,75$. $(1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 0,75$. $1 - \sin^2 x = 0,75 \implies \sin^2 x = 0,25$. $\sin x = \pm 0,5 \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. б) Корни на $[-3\pi; -1,5\pi]$: При $n=-2$: $-\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$ ($-2,16\pi$), $\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ ($-1,83\pi$). При $n=-3$: $\frac{\pi}{6} - 3\pi = -\frac{17\pi}{6}$ ($-2,83\pi$). **Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$; б) $-\frac{17\pi}{6}; -\frac{13\pi}{6}; -\frac{11\pi}{6}$.** 21. Высота $H=6$, боковое ребро $b=10$. Половина диагонали квадрата основания $d/2 = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$, значит $d = 16$. Сторона основания $a = d/\sqrt{2} = 16/\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Площадь основания $S = a^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128$. Объем $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 256$. **Ответ: 256.** 22. Боковое ребро $h = \sqrt{3}$. Площадь поверхности $S = 36\sqrt{3}$. $2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3ah = 36\sqrt{3}$. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$. $a^2 + 6a - 72 = 0$. Корни $a_1 = 6, a_2 = -12$ (не подходит). **Ответ: 6.**