Докажите, что DD1 L A,B1, если AB 1 DD,

Для доказательства перпендикулярности прямой $DD_1$ и $AB_1$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, воспользуемся свойствами векторов. ### Доказательство 1. Пусть векторы $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA_1} = \vec{c}$. 2. Тогда $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$ (так как в параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны). 3. Вектор $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$. 4. Условие $AB \perp DD_1$ означает, что скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{DD_1} = 0$, то есть $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$. 5. Чтобы доказать $DD_1 \perp AB_1$, нужно проверить скалярное произведение $\vec{DD_1} \cdot \vec{AB_1}$: $$\vec{DD_1} \cdot \vec{AB_1} = \vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2$$ 6. Так как по условию $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$, получаем: $$\vec{DD_1} \cdot \vec{AB_1} = 0 + |\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2$$ **Важное примечание:** В общем случае параллелепипеда это произведение не равно нулю (если только $|\vec{c}| = 0$, что невозможно для параллелепипеда). Скорее всего, в условии опечатка, и требовалось доказать, что $\vec{AD} \perp \vec{DD_1}$ (что верно для прямоугольного параллелепипеда) или иное соотношение. Если же $AB \perp DD_1$ — это условие, то $DD_1$ перпендикулярен прямой $AB$, но не обязательно $AB_1$.