2cos^2 x - 0,5sin 2x = 3sin^2 x

Для решения уравнения $2\cos^2 x - 0,5\sin 2x = 3\sin^2 x$ выполним следующие шаги: 1. Используем формулу двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. $2\cos^2 x - 0,5(2\sin x \cos x) = 3\sin^2 x$ $2\cos^2 x - \sin x \cos x = 3\sin^2 x$ 2. Перенесем все в одну сторону: $2\cos^2 x - \sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0$ 3. Это однородное уравнение второго порядка. Разделим обе части на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$): $2 - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0$ $2 - \tan x - 3\tan^2 x = 0$ $-3\tan^2 x - \tan x + 2 = 0$ $3\tan^2 x + \tan x - 2 = 0$ 4. Введем замену $t = \tan x$: $3t^2 + t - 2 = 0$ Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ $t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1$ 5. Вернемся к переменной $x$: - $\tan x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ - $\tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n; x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$