Решите уравнение 1 - √(x - 2) = x - 1

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по математике. 1. $1 - \sqrt{x-2} = x-1$ Перенесем: $2 - x = \sqrt{x-2}$. Возведем в квадрат (при условии $x \ge 2$ и $2-x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$): $x=2$. Проверка: $1-\sqrt{0} = 2-1 \Rightarrow 1=1$. **Ответ: 2**. 2. $6 \cdot 3^{x+2} - 3^x > 159$ $6 \cdot 3^x \cdot 3^2 - 3^x > 159$ $54 \cdot 3^x - 3^x > 159 \Rightarrow 53 \cdot 3^x > 159 \Rightarrow 3^x > 3^1$. **Ответ: x > 1**. 3. $(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} + 125^{\frac{1}{3}} \cdot (6^3)^0 - 49^{0.5}$ $(2^{-3})^{-\frac{4}{3}} + 5 - 7 = 2^4 + 5 - 7 = 16 + 5 - 7 = 14$. **Ответ: 14**. 4. $\log_{16} 8 + \log_{16}(12x+8) = 1$ $\log_{16}(8(12x+8)) = 1 \Rightarrow 96x + 64 = 16^1$ $96x = 16 - 64 = -48 \Rightarrow x = -0.5$. Проверка ОДЗ: $12(-0.5)+8 = 2 > 0$. **Ответ: -0.5**. 5. $f(x) = 5 + 12x - x^3$ $f'(x) = 12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. $f''(x) = -6x$. При $x=2, f'' < 0$ (максимум). **Ответ: 2**. 6. $f(x) = 3x^2 - 4x + 2, F(-2) = -4$ $F(x) = \int (3x^2 - 4x + 2) dx = x^3 - 2x^2 + 2x + C$ $-8 - 8 - 4 + C = -4 \Rightarrow C = 16$. **Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 16$**. 7. $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$ $2(1-\sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0 \Rightarrow -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$ $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$. Пусть $t = \sin x$, $2t^2-3t+1=0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 0.5$. $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. **Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$**. 8. $\frac{1-\sin^2 \alpha}{1-\cos^2 \alpha} \cdot \frac{1}{\text{ctg}^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \text{tg}^2 \alpha = \text{ctg}^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha = 1$. Доказано. 9. Конус: $l=6, \alpha=30^\circ$. Высота $h = l \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3$. Радиус $r = l \cdot \cos 30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (27) \cdot 3 = 27\pi \approx 84.82$. **Ответ: $27\pi$**. 10. Призма: основание - прямоугольный треугольник $a=16, b=12, c=\sqrt{16^2+12^2} = 20$. Высота $H=14$. $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2(0.5 \cdot 16 \cdot 12) + (16+12+20) \cdot 14 = 192 + 672 = 864$. **Ответ: 864**.