Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение (1-3): 1. (x^3-4x^2-x)/|x|=b имеет ровно три корня.

Привет! Давай разберем задачи из первого варианта. Они очень интересные и требуют аккуратного анализа графиков функций. ### Задача 1 $\frac{x^3 - 4x^2 - x}{|x|} = b$ 1. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. 2. При $x > 0$ уравнение принимает вид: $\frac{x(x^2 - 4x - 1)}{x} = x^2 - 4x - 1 = b$. 3. При $x < 0$ уравнение принимает вид: $\frac{x(x^2 - 4x - 1)}{-x} = -(x^2 - 4x - 1) = -x^2 + 4x + 1 = b$. 4. Построим график функции $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x - 1, & x > 0 \\ -x^2 + 4x + 1, & x < 0 \end{cases}$. - Для $x > 0$: вершина параболы в точке $x = 2$, $f(2) = 4 - 8 - 1 = -5$. Точка разрыва при $x=0$ (выколотая) в $f(0) = -1$. - Для $x < 0$: ветви вниз, вершина при $x = 2$ (не входит в область $x<0$), функция возрастает до $f(0) = 1$ (выколотая). Графики пересекают горизонтальную прямую $y = b$ в трех точках, когда $-5 < b < -1$ и $1 < b < 5$ (с учетом симметрии и поведения функций). **Ответ:** $b \in (-5; -1) \cup (1; 5)$. ### Задача 2 $x^2 + 3x - |x^2 + x - 2| = b$ Раскроем модуль, найдя корни $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = 0$, т.е. $x = -2, x = 1$. 1. При $x \in [-2; 1]$: $x^2 + 3x - (-(x^2 + x - 2)) = 2x^2 + 4x - 2$. 2. При $x \notin [-2; 1]$: $x^2 + 3x - (x^2 + x - 2) = 2x + 2$. Анализ графика показывает, что ровно два корня уравнение имеет при $b \in (-4; 2) \cup \{4\}$. ### Задача 3 $\sqrt{4 - (x - b)^2} - 3 + b = 0 \implies \sqrt{4 - (x - b)^2} = 3 - b$ Это уравнение окружности с центром в $(b; 0)$ и радиусом $R=2$. Нам нужно найти такое $b$, при котором прямая $y = 3 - b$ пересекает полукруг ровно в одной точке. **Ответ:** $b \in [1; 5]$.