На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной в точке

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы. ### Задание 1 На рисунке касательная проходит через точки $(1; 1)$ и $(4; 3)$. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке $x_0$. $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 1}{4 - 1} = \frac{2}{3}$. **Ответ:** $\frac{2}{3}$. ### Задание 2 Фигура — прямоугольный треугольник. Его катеты по клеткам равны 3 и 4. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$. **Ответ:** 6. ### Задание 3 а) Доказать: $(1 - \sin^2 \alpha)(1 + \text{tg}^2 \alpha) = 1$. $(1 - \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha$, $(1 + \text{tg}^2 \alpha) = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. $\cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1$. Доказано. б) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. в) $5 \cdot \text{tg} 154^\circ \cdot \text{tg} 244^\circ$. $\text{tg} 244^\circ = \text{tg}(180^\circ + 64^\circ) = \text{tg} 64^\circ$. $\text{tg} 154^\circ = \text{tg}(180^\circ - 26^\circ) = -\text{tg} 26^\circ$. Так как $64^\circ$ и $26^\circ$ дополняют друг друга до $90^\circ$, то $\text{tg} 64^\circ = \text{ctg} 26^\circ$. $5 \cdot (-\text{tg} 26^\circ) \cdot \text{ctg} 26^\circ = 5 \cdot (-1) = -5$. **Ответ:** -5. ### Задание 4 $(\frac{11}{15} - 1\frac{9}{10} + \frac{5}{8}) \cdot 0,9 + 0,1$. $\frac{11}{15} - \frac{19}{10} + \frac{5}{8} = \frac{88 - 228 + 75}{120} = \frac{-65}{120} = -\frac{13}{24}$. $-\frac{13}{24} \cdot \frac{9}{10} + 0,1 = -\frac{13 \cdot 3}{8 \cdot 10} + 0,1 = -\frac{39}{80} + \frac{8}{80} = -\frac{31}{80} = -0,3875$. **Ответ:** -0,3875. ### Задание 5 Разделим фигуру на два параллелепипеда: нижний ($2 \times 3 \times 1$) и верхний ($1 \times 1 \times 1$). $V = (2 \cdot 3 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) = 6 + 1 = 7$. **Ответ:** 7. ### Задание 6 а) $5^x = \sqrt{5} \Rightarrow 5^x = 5^{0,5} \Rightarrow x = 0,5$. б) $\log_2 (x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 2^3 \Rightarrow x - 1 = 8 \Rightarrow x = 9$. в) $\sqrt{x + 9} = 5 \Rightarrow x + 9 = 25 \Rightarrow x = 16$. г) $7^{\frac{2}{3}} \cdot 49^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot (7^2)^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{4}{3}} = 7^{\frac{6}{3}} = 7^2 = 49$. д) $5^{\log_5 2} = 2$. **Ответ:** 0,5; 9; 16; 49; 2.