Найдем точки локального экстремума у функции f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy.

Для функции $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ найдем частные производные первого порядка: $f'_x = 3x^2 - 3y$ $f'_y = 3y^2 - 3x$ Приравниваем их к нулю, чтобы найти критические точки: $\begin{cases} 3x^2 - 3y = 0 \\ 3y^2 - 3x = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 \\ x^4 - x = 0 \end{cases}$ Отсюда $x(x^3 - 1) = 0$, то есть $x=0$ или $x=1$. Если $x=0$, то $y=0$. Точка $A(0, 0)$. Если $x=1$, то $y=1$. Точка $B(1, 1)$. Найдем частные производные второго порядка: $f''_{xx} = 6x$ $f''_{yy} = 6y$ $f''_{xy} = -3$ Вычислим определитель матрицы Гессе $\Delta = f''_{xx} f''_{yy} - (f''_{xy})^2 = (6x)(6y) - (-3)^2 = 36xy - 9$. 1. Для точки $A(0, 0)$: $\Delta = 36(0)(0) - 9 = -9 < 0$. Так как $\Delta < 0$, в точке $A(0, 0)$ экстремума нет (это седловая точка). 2. Для точки $B(1, 1)$: $\Delta = 36(1)(1) - 9 = 27 > 0$. Так как $\Delta > 0$, экстремум есть. Проверяем $f''_{xx}(1, 1) = 6(1) = 6 > 0$, значит, это локальный минимум. Таким образом, точка $A(0, 0)$ — не экстремум (седло), точка $B(1, 1)$ — локальный минимум.