Исследование функции y = 2 + 3x - x^3, нахождение производной и точек экстремума.

Привет! Давай разберем твою практическую работу по исследованию функции $y = 2 + 3x - x^3$. Ты уже начал правильно, давай скорректируем ошибки. 1. **Область определения** $D(y) = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty)$. Здесь все верно. 2. **Четность/нечетность** $y(-x) = 2 + 3(-x) - (-x)^3 = 2 - 3x + x^3$. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. 3. **Пересечение с осями** * **С осью OY ($x=0$):** $y(0) = 2 + 3(0) - 0^3 = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$. * **С осью OX ($y=0$):** $2 + 3x - x^3 = 0$. Давай перепишем уравнение как $x^3 - 3x - 2 = 0$. Удобно найти корни подбором. При $x = -1$: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Значит, $x = -1$ — корень. Разделим $(x^3 - 3x - 2)$ на $(x + 1)$ (уголком или методом группировки): $(x^3 + x^2) - (x^2 + x) - (2x + 2) = 0$ $x^2(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1) = 0$ $(x + 1)(x^2 - x - 2) = 0$ $(x + 1)(x - 2)(x + 1) = 0$ $(x + 1)^2(x - 2) = 0$ Корни: $x = -1$ (кратность 2), $x = 2$. 4. **Производная и критические точки** $y'(x) = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2$. Приравняем к нулю для поиска критических точек: $3 - 3x^2 = 0$ $3(1 - x^2) = 0$ $1 - x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x = 1$ или $x = -1$. 5. **Промежутки монотонности** Методом интервалов для производной $y' = -3(x^2 - 1) = -3(x - 1)(x + 1)$: * $(-\infty; -1)$: $y' < 0$ (функция убывает) * $(-1; 1)$: $y' > 0$ (функция возрастает) * $(1; +\infty)$: $y' < 0$ (функция убывает) В точке $x = -1$ минимум, в точке $x = 1$ максимум.