Исследование функции y(x) = 2 + 3x - x^3

Привет! Давай разберем твою практическую работу по исследованию функции $y(x) = 2 + 3x - x^3$. Ты верно начал, но в некоторых местах допустил ошибки. Давай сделаем всё последовательно: 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$ или $(-\infty; +\infty)$. Здесь всё верно. 2. **Четность/нечетность:** $y(-x) = 2 + 3(-x) - (-x)^3 = 2 - 3x + x^3$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция **общего вида** (ни четная, ни нечетная). У тебя в записи знаки были неверно преобразованы. 3. **Пересечение с осями:** * **С осью $Oy$ ($x=0$):** $y(0) = 2 + 3(0) - 0^3 = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$. * **С осью $Ox$ ($y=0$):** $2 + 3x - x^3 = 0$. Это уравнение третьей степени. Угадывается корень $x = -1$ (так как $2 + 3(-1) - (-1)^3 = 2 - 3 + 1 = 0$). Разделив многочлен $(2 + 3x - x^3)$ на $(x+1)$, получим $(x+1)(-x^2 + x + 2) = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -1$ (корень кратности 2). 4. **Производная и монотонность:** $y'(x) = (2 + 3x - x^3)' = 3 - 3x^2$. Найдем критические точки: $3 - 3x^2 = 0 \implies 3(1 - x^2) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Расставим знаки производной на числовой прямой: * На интервале $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2$, $y'(-2) = 3 - 3(4) = -9 < 0$ (функция убывает). * На интервале $(-1; 1)$: возьмем $x = 0$, $y'(0) = 3 - 0 = 3 > 0$ (функция возрастает). * На интервале $(1; +\infty)$: возьмем $x = 2$, $y'(2) = 3 - 12 = -9 < 0$ (функция убывает). **Точки экстремума:** * $x_{min} = -1$, $y(-1) = 2 - 3 + 1 = 0$ — минимум. * $x_{max} = 1$, $y(1) = 2 + 3 - 1 = 4$ — максимум.