y' - y/x = xsinx, y(π) = 0

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$. 1. Наше уравнение: $y' - \frac{1}{x}y = x \sin x$. 2. Найдем интегрирующий множитель $\mu(x) = e^{\int p(x) dx} = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$. 3. Умножим обе части уравнения на $\frac{1}{x}$: $\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \sin x$ $\left(\frac{y}{x}\right)' = \sin x$ 4. Проинтегрируем обе части по $x$: $\frac{y}{x} = \int \sin x dx = -\cos x + C$ 5. Выразим $y$: $y = x(C - \cos x) = Cx - x \cos x$ 6. Используем начальное условие $y(\pi) = 0$: $0 = C \cdot \pi - \pi \cdot \cos(\pi)$ $0 = C \pi - \pi(-1)$ $0 = C \pi + \pi$ $C \pi = -\pi \Rightarrow C = -1$ 7. Подставим $C = -1$ в общее решение: $y = -x - x \cos x = -x(1 + \cos x)$ **Ответ:** $y = -x(1 + \cos x)$