Привет! Давай разберем задания из твоего билета по математике. Вот решения:
1. Найдите значение выражения $35^{-4,7} \cdot 7^{5,7} : 5^{-3,7}$
$35^{-4,7} = (5 \cdot 7)^{-4,7} = 5^{-4,7} \cdot 7^{-4,7}$
Выражение: $5^{-4,7} \cdot 7^{-4,7} \cdot 7^{5,7} : 5^{-3,7} = 5^{-4,7 - (-3,7)} \cdot 7^{-4,7 + 5,7} = 5^{-1} \cdot 7^1 = \frac{7}{5} = 1,4$.
**Ответ: 1,4**
2. Решите уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
Пусть $\sin x = t$, где $|t| \le 1$. Получаем $2t^2 + t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $t_1 = \frac{-1+3}{4} = 0,5$, $t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.
1) $\sin x = 0,5 \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
2) $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
**Ответ: $(-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k; -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$**
3. Найдите область определения функции $y = \log_{0,2}(10-5x)$
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $10 - 5x > 0 \Rightarrow 5x < 10 \Rightarrow x < 2$.
**Ответ: $(-\infty; 2)$**
4. Решите неравенство $3^{x+2} - 3^x \le 24$
$3^x \cdot 3^2 - 3^x \le 24 \Rightarrow 3^x(9 - 1) \le 24 \Rightarrow 3^x \cdot 8 \le 24 \Rightarrow 3^x \le 3^1 \Rightarrow x \le 1$.
**Ответ: $(-\infty; 1]$**
5. Решите уравнение $\sqrt{x-2} = x-8$
Возведем обе части в квадрат (с учетом $x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8$):
$x - 2 = (x - 8)^2 \Rightarrow x - 2 = x^2 - 16x + 64 \Rightarrow x^2 - 17x + 66 = 0$.
Корни по теореме Виета: $x_1 = 11$, $x_2 = 6$.
Проверка: $x=6 < 8$ (не подходит). $x=11$ подходит ($\sqrt{11-2} = 3$, $11-8=3$).
**Ответ: 11**
6. Найдите точки минимума функции $y = x^3 - 3x^2 + 2$
Производная: $y' = 3x^2 - 6x$. Приравняем к нулю: $3x(x - 2) = 0$.
Точки: $x=0$, $x=2$.
Метод интервалов для $y'$: при $x < 0$ производная $>0$ (возрастает), при $0 < x < 2$ производная $<0$ (убывает), при $x > 2$ производная $>0$ (возрастает). Точка минимума $x=2$.
**Ответ: 2**
7. Вычислите значение выражения $\log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10$
$\log_9 \left(\frac{15 \cdot 18}{10}\right) = \log_9 \left(\frac{270}{10}\right) = \log_9 27 = \log_{3^2} (3^3) = \frac{3}{2} = 1,5$.
**Ответ: 1,5**
8. Найдите первообразную функции $f(x) = 1 - 2x$, график которой проходит через точку $M(3; 2)$
$F(x) = x - x^2 + C$. Подставим $M(3; 2)$: $2 = 3 - 3^2 + C \Rightarrow 2 = 3 - 9 + C \Rightarrow 2 = -6 + C \Rightarrow C = 8$.
**Ответ: $F(x) = x - x^2 + 8$**
9. Высота треугольника делит сторону на отрезки 3 см и 7 см. Найдите стороны треугольника, если разница остальных сторон равна 2 см.
Пусть $h$ — высота, $x$ — одна из неизвестных сторон, тогда вторая сторона $x+2$. Высота $h$ делит треугольник на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора:
$h^2 = x^2 - 3^2$ и $h^2 = (x+2)^2 - 7^2$
$x^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 49 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9$.
Стороны: $9$ и $11$. Третья сторона основания равна $3 + 7 = 10$.
**Ответ: 9 см, 11 см, 10 см**
10. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов и равна 12 см. Найдите объём конуса.
Образующая $l = 12$. Радиус $r = l \cdot \cos 60^{\circ} = 12 \cdot 0,5 = 6$ см. Высота $h = l \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}\pi \approx 391,7$ см$^3$.
**Ответ: $72\sqrt{3}\pi$ см$^3$**
