Вычислить: 3 * (3^2)^2 * 1/81 - (1/27)^(1/3) + 27^(2/3)

Привет! Давай решим задания из билета: 1. Вычислить: $3 \cdot (3^2)^2 \cdot \frac{1}{81} - (\frac{1}{27})^{\frac{1}{3}} + 27^{\frac{2}{3}}$ $3 \cdot 3^4 \cdot 3^{-4} - (3^{-3})^{\frac{1}{3}} + (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3 \cdot 3^0 - 3^{-1} + 3^2 = 3 - \frac{1}{3} + 9 = 12 - \frac{1}{3} = 11\frac{2}{3}$. 2. Решить уравнение: $(\frac{1}{16})^{4-2x} = 2^{x-5}$ $(2^{-4})^{4-2x} = 2^{x-5} \Rightarrow -16 + 8x = x - 5 \Rightarrow 7x = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{7}$. 3. Вычислить: $\log_2 15 - \log_2 30 = \log_2(\frac{15}{30}) = \log_2(\frac{1}{2}) = -1$. 4. Решить: $2\sin x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 5. Найти $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{3}{5}, \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ Так как это IV четверть, косинус положителен: $\cos \alpha = \sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$. 6. Найти производную: $y = (4x^2 - 8x)^4$ $y' = 4(4x^2 - 8x)^3 \cdot (8x - 8) = 32(x - 1)(4x^2 - 8x)^3$. 7. Найти первообразные: $y = 5x^4 - 5\sin x + 3$ $F(x) = x^5 + 5\cos x + 3x + C$. 8. Вычислить интеграл: $\int_1^3 (x^2 - 2x) dx$ $[?rac{x^3}{3} - x^2]_1^3 = (\frac{27}{3} - 9) - (\frac{1}{3} - 1) = (9-9) - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$. 9. Решить уравнение: $\sqrt{11x + 23} = x + 3$ $11x + 23 = x^2 + 6x + 9 \Rightarrow x^2 - 5x - 14 = 0$ Корни: $x_1 = 7, x_2 = -2$. Проверка: при $x=7: \sqrt{77+23}=10, 7+3=10$ (верно). При $x=-2: \sqrt{-22+23}=1, -2+3=1$ (верно). Ответ: $7; -2$. 10. Высота конуса $H=4$, угол $\alpha=120^\circ$ (угол при вершине). Угол между высотой и образующей $\beta = 60^\circ$. Радиус основания $R = H \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$. Образующая $L = \frac{H}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{0.5} = 8$. $S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}\pi \approx 174.1$.