Решите уравнение cos 2x + 5 cos x + 3 = 0.

### а) Решение уравнения Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставим её в исходное уравнение: $2\cos^2 x - 1 + 5\cos x + 3 = 0$ $2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$ Пусть $\cos x = t$, где $|t| \le 1$. Получим квадратное уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$ Найдём дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$ Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$ $t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$ (не подходит, так как $|\cos x| \le 1$) Возвращаемся к замене: $\cos x = -0,5$ $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Поиск корней на отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ Отметим корни на тригонометрической окружности и выделим дугу, соответствующую отрезку $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$: 1. Корни: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$. 2. Проверим значения: - Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = -2$: $x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi - 12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3} \approx -3,33\pi$ (вне отрезка) при $k = -1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -1,33\pi$ (вне отрезка, т.к. $-\frac{4\pi}{3} > -\frac{3\pi}{2}$) - Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: при $k = -1$: $x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -2,66\pi$ (входит в отрезок) при $k = 0$: $x = -\frac{2\pi}{3} \approx -0,66\pi$ (вне отрезка) Проверим еще раз: Отрезок $[-3\pi; -1,5\pi]$. Число $-\frac{8\pi}{3} = -2\frac{2}{3}\pi$ находится между $-3\pi$ и $-1,5\pi$, так как $-3 < -2,66 < -1,5$. **Ответ: а) $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi}{3}$.**