1) Решите уравнение 2cos^2 x + 5cos x + 2 = 0.

1) Решим уравнение $2 \cos^2 x + 5 \cos x + 2 = 0$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + 5t + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ $t_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -\frac{8}{4} = -2$ Так как $|\cos x| \le 1$, то $t_2 = -2$ не подходит. Остается $t = -0.5$, то есть $\cos x = -0.5$. Решения уравнения: $x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi n = \pm (\pi - \frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. 2) Найдем корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$. Отметим наш отрезок на тригонометрической окружности: он соответствует второй, третьей и первой четвертям (от $180^\circ$ до $450^\circ$). Корни общего вида: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ и $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Проверим попадание в отрезок $[\pi; 2.5\pi]$: - Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n=0: x = \frac{2\pi}{3} \approx 120^\circ$ (не входит, так как $\frac{2\pi}{3} < \pi$). При $n=1: x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 480^\circ$ (не входит, так как $\frac{8\pi}{3} > \frac{5\pi}{2}$, т.е. $2.66\pi > 2.5\pi$). - Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n=1: x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \approx 240^\circ$ (не входит, так как $\frac{4\pi}{3} < \pi$). При $n=2: x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$ (не входит). Похоже, что при заданных корнях $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ на отрезке $[ \pi; \frac{5\pi}{2}]$ нет решений. Давайте проверим еще раз. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. При $n=0$ это $120^\circ$. При $n=1$ это $120+360=480^\circ$. Отрезок $[\pi; 2.5\pi]$ это $[180^\circ; 450^\circ]$. $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. При $n=1$ это $240^\circ$. Это значение попадает в отрезок $[180^\circ; 450^\circ]$! $240^\circ$ — это $\frac{4\pi}{3}$. Проверим $\frac{4\pi}{3}$: $\pi \le \frac{4\pi}{3} \le \frac{5\pi}{2} \implies 1 \le 1.33 \le 2.5$. Верно. Значит, корень $x = \frac{4\pi}{3}$ подходит. **Ответ: 1) $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; 2) $\frac{4\pi}{3}$.**