24. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя lim (x->0) (e^(4x)-1)/(x^2+3x).

Question

Вопрос:

24. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя lim (x->0) (e^(4x)-1)/(x^2+3x).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задач на пределы по правилу Лопиталя нужно убедиться, что предел имеет неопределенность вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, а затем вычислить предел отношения производных. 24. Вычислить предел $\lim_{x\to0} \frac{e^{4x} - 1}{x^2 + 3x}$. При $x \to 0$ получаем неопределенность $\frac{e^0 - 1}{0^2 + 3 \cdot 0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$. Применим правило Лопиталя (производная числителя и знаменателя): $\lim_{x\to0} \frac{(e^{4x} - 1)'}{(x^2 + 3x)'} = \lim_{x\to0} \frac{4e^{4x}}{2x + 3}$. Подставим $x = 0$: $\frac{4e^0}{2 \cdot 0 + 3} = \frac{4 \cdot 1}{3} = \frac{4}{3}$. Ответ: $\frac{4}{3}$. 25. Вычислить предел $\lim_{x\to\infty} \frac{5x - 3}{e^{2x}}$. При $x \to \infty$ получаем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя: $\lim_{x\to\infty} \frac{(5x - 3)'}{(e^{2x})'} = \lim_{x\to\infty} \frac{5}{2e^{2x}}$. Так как при $x \to \infty$ знаменатель растет бесконечно, то предел равен 0. Ответ: 0.

24. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя lim (x-&gt;0) (e^(4x)-1)/(x^2+3x).

Ответ ассистента

Другие решения

24. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя lim (x->0) (e^(4x)-1)/(x^2+3x).