1. Вычислите: (1/8)^-0,75 + 125^1/3 * (6^3)^0 - 49^0,5

1. $(1/8)^{-0.75} + 125^{1/3} \cdot (6^3)^0 - 49^{0.5} = (1/8)^{-3/4} + 5 \cdot 1 - 7 = 8^{3/4} + 5 - 7 = 2^3 \cdot 2^{-3/4} + 5 - 7 = 2^{2.25} - 2 = 4\sqrt[4]{2} - 2 \approx 2.756$. (Note: Assuming standard school calculator operations). 2. $\log_{0.5}(1-2x) = -4$ $1-2x = (0.5)^{-4} = 2^4 = 16$ $-2x = 15 \implies x = -7.5$. 3. $1 - \sin^2 \alpha (1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 - 1 = 0$. 4. $\frac{x^2 - 7x + 6}{x+2} \ge 0$ Zeros of numerator: $(x-1)(x-6)=0 \implies x=1, 6$. Pole of denominator: $x=-2$. Intervals: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1] \cup [6, \infty)$. By testing intervals, $\ge 0$ on $(-2, 1] \cup [6, \infty)$. 5. $36^x - 4 \cdot 6^x - 12 = 0$. Let $t = 6^x, t > 0$. $t^2 - 4t - 12 = 0 \implies (t-6)(t+2)=0$. $t=6$ (so $6^x=6 \implies x=1$) or $t=-2$ (extraneous). **Ответ: 1.** 6. $y = 2x^3 + 3x^2 - 4$ $y' = 6x^2 + 6x = 6x(x+1)$. Функция убывает, когда $y' \le 0$: $6x(x+1) \le 0 \implies x \in [-1, 0]$. 7. $f(x) = 5x - 3x^2$. Первообразная $F(x) = 2.5x^2 - x^3 + C$. $F(-2) = 10 \implies 2.5(-2)^2 - (-2)^3 + C = 10 \implies 10 + 8 + C = 10 \implies C = -8$. **Ответ: $F(x) = 2.5x^2 - x^3 - 8$.** 8. Всего 200 деталей, 12 неисправных, значит исправных $200 - 12 = 188$. Вероятность $P = \frac{188}{200} = 0.94$. 9. $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. $17^2 = 8^2 + 9^2 + c^2$. $289 = 64 + 81 + c^2 \implies c^2 = 144 \implies c = 12$. $V = abc = 8 \cdot 9 \cdot 12 = 864 \text{ см}^3$. 10. Осевое сечение — квадрат с диагональю $6\sqrt{2}$, значит сторона квадрата $a = 6$. Это высота цилиндра $H=6$ и диаметр основания $2R=6 \implies R=3$. $S_{бок} = 2\pi RH = 2 \cdot \pi \cdot 3 \cdot 6 = 36\pi \text{ см}^2$.