Исследование функций при помощи производных

35. Найти интервалы возрастания и убывания функции $y = x^3 - 3x^2 + 9$. 1) Найдем производную функции: $y' = 3x^2 - 6x$. 2) Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 2$. 3) Определим знаки производной на интервалах: - $(-\infty, 0)$: $y' > 0$ (функция возрастает) - $(0, 2)$: $y' < 0$ (функция убывает) - $(2, +\infty)$: $y' > 0$ (функция возрастает) **Ответ:** Возрастает на $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$, убывает на $[0, 2]$. 36. Найти экстремумы функции $y = x^3 + 3x^2 - 5$. 1) Найдем производную: $y' = 3x^2 + 6x$. 2) $3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x + 2) = 0$. Точки экстремума: $x = 0$ и $x = -2$. 3) При $x = -2$: $y(-2) = (-8) + 3(4) - 5 = -1$. Это точка максимума. 4) При $x = 0$: $y(0) = -5$. Это точка минимума. **Ответ:** $y_{max} = -1$ в точке $x = -2$; $y_{min} = -5$ в точке $x = 0$. 37. Определить выпуклость графика функции $y = x^3 - 2x^2 + 8x - 3$. 1) Найдем вторую производную: $y' = 3x^2 - 4x + 8$, $y'' = 6x - 4$. 2) $6x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2/3$. 3) При $x < 2/3$: $y'' < 0$ (выпуклость вверх). 4) При $x > 2/3$: $y'' > 0$ (выпуклость вниз). **Ответ:** Выпукла вверх на $(-\infty, 2/3]$, выпукла вниз на $[2/3, +\infty)$. 38. Найти точки перегиба графика функции $y = x^3 + 6x^2 - x + 9$. 1) $y' = 3x^2 + 12x - 1$, $y'' = 6x + 12$. 2) $6x + 12 = 0 \Rightarrow x = -2$. При переходе через $x = -2$ вторая производная меняет знак. **Ответ:** $x = -2$. 39. Найти вертикальную асимптоту графика функции $y = \frac{1-4x}{2x}$. Вертикальная асимптота находится в точке разрыва знаменателя: $2x = 0 \Rightarrow x = 0$. **Ответ:** $x = 0$. 40. Найти горизонтальную асимптоту графика функции $y = \frac{1-4x}{2x}$. Найдем предел при $x \to \infty$: $\lim_{x \to \infty} \frac{1-4x}{2x} = \lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2x} - 2) = -2$. **Ответ:** $y = -2$.