Диагонали ромба относятся как 5 : 8. Периметр ромба равен 89. Найдите высоту ромба.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами ромба. 1. Обозначим диагонали ромба как $d_1 = 5x$ и $d_2 = 8x$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба $a$. Катеты этого треугольника равны $\frac{5x}{2} = 2,5x$ и $\frac{8x}{2} = 4x$. 2. По теореме Пифагора найдем сторону ромба: $a^2 = (2,5x)^2 + (4x)^2$ $a^2 = 6,25x^2 + 16x^2 = 22,25x^2$ $a = \sqrt{22,25}x = \sqrt{\frac{89}{4}}x = \frac{\sqrt{89}}{2}x$ 3. Периметр ромба $P = 4a = 89$. Подставим выражение для $a$: $4 \cdot \frac{\sqrt{89}}{2}x = 89$ $2\sqrt{89}x = 89$ $x = \frac{89}{2\sqrt{89}} = \frac{\sqrt{89}}{2}$ 4. Теперь найдем сторону $a$ и длины диагоналей: $a = \frac{\sqrt{89}}{2} \cdot \frac{\sqrt{89}}{2} = \frac{89}{4} = 22,25$ $d_1 = 5x = 5 \cdot \frac{\sqrt{89}}{2} = 2,5\sqrt{89}$ $d_2 = 8x = 8 \cdot \frac{\sqrt{89}}{2} = 4\sqrt{89}$ 5. Площадь ромба $S$ можно найти двумя способами: а) Через диагонали: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 2,5\sqrt{89} \cdot 4\sqrt{89} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 89 = 5 \cdot 89 = 445$ б) Через сторону и высоту $h$: $S = a \cdot h$ 6. Приравняем значения площади: $22,25 \cdot h = 445$ $h = \frac{445}{22,25} = 20$ Ответ: 20