Задание 2. Определите является ли преложенное отношение рефлектиным, симметричным и транзитивным.

Привет! Давай разберемся с этими отношениями на множестве целых чисел $\mathbb{Z}$. ### 1) Отношение «$x + y$ — четное число» Это отношение эквивалентности, так как оно обладает всеми тремя свойствами: * **Рефлексивность:** $x + x = 2x$. Любое число $2x$ — четное. Верно. * **Симметричность:** Если $x + y$ — четное, то $y + x$ тоже четное (от перемены мест слагаемых сумма не меняется). Верно. * **Транзитивность:** Если $x + y$ четное и $y + z$ четное, значит, $x$ и $y$ имеют одинаковую четность, и $y$ и $z$ имеют одинаковую четность. Следовательно, $x$ и $z$ тоже имеют одинаковую четность, а их сумма $x + z$ будет четной. Верно. **Ответ:** Рефлексивно, симметрично, транзитивно. ### 2) Отношение «$x^y$ — четное число» (при $x, y \in \mathbb{N}$) Будем считать, что числа натуральные, чтобы избежать проблем с отрицательными степенями. * **Рефлексивность:** Верно ли $x^x$ — четное? Не всегда. Например, $1^1 = 1$ (нечетное). Значит, **не рефлексивно**. * **Симметричность:** Если $x^y$ четное, всегда ли $y^x$ четное? Возьмем $x=2, y=3$. $2^3 = 8$ (четное), а $3^2 = 9$ (нечетное). Значит, **не симметрично**. * **Транзитивность:** Если $x^y$ четное и $y^z$ четное, будет ли $x^z$ четным? Возьмем $x=2, y=2, z=3$. $2^2=4$ (четное), $2^3=8$ (четное). Здесь работает. Но возьмем $x=2, y=4, z=1$. $2^4=16$ (четное), $4^1=4$ (четное), $2^1=2$ (четное). Вроде работает. Однако, отношение не обладает свойствами рефлексивности и симметричности, поэтому не является отношением эквивалентности. **Ответ:** Не рефлексивно, не симметрично, транзитивность зависит от области определения (в натуральных числах выполняется, так как основание степени должно быть четным, чтобы результат был четным).