9. В прямоугольном Δ ABC, ∠ C = 90°. Гипотенуза AB-50, катет AC=40. Найдите tg A.

### Решение заданий **9. Найдите tg A** В прямоугольном треугольнике катет $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = \sqrt{2500 - 1600} = \sqrt{900} = 30$. $\text{tg } A = \frac{BC}{AC} = \frac{30}{40} = 0,75$. **Ответ: 0,75** **10. Найдите радиус основания конуса** Объем $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = 25\pi$. $\frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot 3 = 25 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5$. **Ответ: 5** **11. Найдите значение выражения** $\frac{2^3 \cdot 9^{-4}}{18^{-4}} = 8 \cdot \left( \frac{9}{18} \right)^{-4} = 8 \cdot (0,5)^{-4} = 8 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128$. **Ответ: 128** **12. Решите уравнение $6\sin^2 x + 5\cos x - 2 = 0$** Используем $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $6(1 - \cos^2 x) + 5\cos x - 2 = 0$ $6 - 6\cos^2 x + 5\cos x - 2 = 0$ $6\cos^2 x - 5\cos x - 4 = 0$ Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121$. $t = \frac{5 \pm 11}{12} \Rightarrow t_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \text{ (не подходит)}, t_2 = -\frac{6}{12} = -0,5$. $\cos x = -0,5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$** **13. Наибольшее и наименьшее значение $y = -x^3 + 3x^2 + 4$ на $[-3; 3]$** $y' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$. Критические точки $x=0, x=2$. $y(-3) = -(-27) + 3(9) + 4 = 27 + 27 + 4 = 58$. $y(0) = 4$. $y(2) = -8 + 12 + 4 = 8$. $y(3) = -27 + 27 + 4 = 4$. Наибольшее значение: 58, наименьшее: 4. **Ответ: $\max = 58, \min = 4$** **14. Скорость течения реки** Пусть $v_{теч} = x$. Время в пути без стоянки: $40 - 10 = 30$ часов. $\frac{200}{15+x} + \frac{200}{15-x} = 30 \Rightarrow \frac{20}{15+x} + \frac{20}{15-x} = 3$ $20(15-x) + 20(15+x) = 3(225-x^2)$ $300 - 20x + 300 + 20x = 675 - 3x^2$ $3x^2 = 75 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$. **Ответ: 5 км/ч** **15. Площадь боковой поверхности пирамиды** Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 25, 25 и основанием 14. Апофема $h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 24 = 168$. Всего 6 граней. $S_{бок} = 6 \cdot 168 = 1008$. **Ответ: 1008**