1. Решите уравнение: а) 2^x = 32; б) (1/3)^x = 9; в) 4^{x+2} = 64; г) (1/5)^{2x-3} = 1/sqrt(5).

### 1. Решите уравнение: а) $2^x = 32 \Rightarrow 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5$. б) $(\frac{1}{3})^x = 9 \Rightarrow (3^{-1})^x = 3^2 \Rightarrow -x = 2 \Rightarrow x = -2$. в) $4^{x+2} = 64 \Rightarrow 4^{x+2} = 4^3 \Rightarrow x+2 = 3 \Rightarrow x = 1$. г) $(\frac{1}{5})^{2x-3} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow (5^{-1})^{2x-3} = 5^{-0,5} \Rightarrow -2x + 3 = -0,5 \Rightarrow -2x = -3,5 \Rightarrow x = 1,75$. ### 2. Решите уравнение: а) $3^{x^2-3x+2} = 1 \Rightarrow 3^{x^2-3x+2} = 3^0 \Rightarrow x^2-3x+2=0$. По теореме Виета $x_1=1, x_2=2$. б) $2^{7-3x} = (\frac{1}{2})^{x-4} \Rightarrow 2^{7-3x} = (2^{-1})^{x-4} \Rightarrow 7-3x = -x + 4 \Rightarrow -2x = -3 \Rightarrow x = 1,5$. в) $(\frac{2}{5})^{3x-7} = (\frac{5}{2})^{7x-3} \Rightarrow (\frac{2}{5})^{3x-7} = (\frac{2}{5})^{-(7x-3)} \Rightarrow 3x-7 = -7x+3 \Rightarrow 10x = 10 \Rightarrow x = 1$. г) $(\frac{2}{9})^{2x+3} = 4,5^{x-2} \Rightarrow (\frac{2}{9})^{2x+3} = (\frac{9}{2})^{x-2} \Rightarrow (\frac{2}{9})^{2x+3} = (\frac{2}{9})^{-(x-2)} \Rightarrow 2x+3 = -x+2 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -1/3$. ### 3. Решите уравнение: а) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 36 \Rightarrow (2 \cdot 3)^{x/2} = 6^2 \Rightarrow 6^{x/2} = 6^2 \Rightarrow x/2 = 2 \Rightarrow x = 4$. б) $\sqrt{8^{x-3}} = \sqrt[3]{4^{2-x}} \Rightarrow 2^{\frac{3(x-3)}{2}} = 2^{\frac{2(2-x)}{3}}$. Приравниваем показатели: $\frac{3x-9}{2} = \frac{4-2x}{3} \Rightarrow 9x-27 = 8-4x \Rightarrow 13x = 35 \Rightarrow x = \frac{35}{13} \approx 2,69$. в) $(\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{9}{8})^x = \frac{64}{27} \Rightarrow (\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8})^x = (\frac{4}{3})^3 \Rightarrow (\frac{3}{4})^x = (\frac{4}{3})^3 \Rightarrow (\frac{4}{3})^{-x} = (\frac{4}{3})^3 \Rightarrow x = -3$. г) $\frac{1}{8}\sqrt{2^{x-1}} = 4^{-1,25} \Rightarrow 2^{-3} \cdot 2^{\frac{x-1}{2}} = (2^2)^{-1,25} \Rightarrow -3 + \frac{x-1}{2} = -2,5 \Rightarrow \frac{x-1}{2} = 0,5 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$. ### 4. Решите уравнение: а) $0,125 \cdot 2^{4x-16} = (\frac{0,25}{\sqrt{2}})^{-x} \Rightarrow 2^{-3} \cdot 2^{4x-16} = (\frac{2^{-2}}{2^{0,5}})^{-x} \Rightarrow 2^{4x-19} = (2^{-2,5})^{-x} \Rightarrow 4x-19 = 2,5x \Rightarrow 1,5x = 19 \Rightarrow x = \frac{38}{3}$. б) $\frac{2^{2x-1} \cdot 4^{x+1}}{8^{x-1}} = (\frac{1}{64})^{-1} \Rightarrow \frac{2^{2x-1} \cdot 2^{2x+2}}{2^{3x-3}} = 2^6 \Rightarrow 2^{(2x-1+2x+2)-(3x-3)} = 2^6 \Rightarrow x+4 = 6 \Rightarrow x=2$. в) $5^{\frac{6x+3}{x}} = \sqrt[4]{125^{2x+1}} \Rightarrow 5^{\frac{6x+3}{x}} = (5^3)^{\frac{2x+1}{4}} \Rightarrow \frac{3(2x+1)}{x} = \frac{3(2x+1)}{4}$. Уравнение верно, если $2x+1=0 \Rightarrow x = -0,5$ или если $\frac{3}{x} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = 4$. г) $25 \cdot 0,2^{x+0,5} = \sqrt{5} \cdot 0,04^x \Rightarrow 5^2 \cdot (5^{-1})^{x+0,5} = 5^{0,5} \cdot (5^{-2})^x \Rightarrow 2 - x - 0,5 = 0,5 - 2x \Rightarrow 1,5 - x = 0,5 - 2x \Rightarrow x = -1$.