Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их шарами.

### Задача 504 Пусть $d_З$ — диаметр Земли, $d_Л = \frac{1}{4}d_З$ — диаметр Луны. Объём шара $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{d^3}{8} = \frac{1}{6}\pi d^3$. Отношение объёмов: $\frac{V_Л}{V_З} = \frac{\frac{1}{6}\pi (\frac{1}{4}d_З)^3}{\frac{1}{6}\pi d_З^3} = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$. **Ответ:** Объём Луны составляет $\frac{1}{64}$ часть объёма Земли. ### Задача 505 Пусть $r$ — радиус шара. Тогда $d_{шара} = 2r$. Объём шара $V_{ш} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Диаметр основания цилиндра равен диаметру шара: $D = 2r$, значит, радиус основания цилиндра $R = r$. Объём цилиндра $V_{ц} = \pi R^2 H = \pi r^2 H$. По условию $V_{ш} = V_{ц}$, значит: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 H$ $H = \frac{4}{3}r$. **Ответ:** $H = \frac{4}{3}r$. ### Задача 506 1. Объём конического стаканчика ($R=2.5$ см, $H=12$ см): $V_{к} = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi (2.5)^2 \cdot 12 = 4\pi \cdot 6.25 = 25\pi \approx 78.5 \text{ см}^3$. 2. Объём двух полушарий (радиус $r=2.5$ см) равен объёму одного шара: $V_{м} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (2.5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 15.625 \approx 20.83\pi \approx 65.4 \text{ см}^3$. 3. Сравним: $V_{м} < V_{к}$ ($65.4 < 78.5$). **Ответ:** Нет, не переполнит. ### Задача 507 1. Объём одного металлического шарика ($r=0.5$ см): $V_ш = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (0.5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 0.125 = \frac{0.5}{3}\pi = \frac{1}{6}\pi \text{ см}^3$. 2. Объём 4 шариков: $4 \cdot V_ш = 4 \cdot \frac{1}{6}\pi = \frac{2}{3}\pi \text{ см}^3$. 3. Уровень воды поднимается на величину объёма погруженных тел, деленную на площадь сечения мензурки (диаметр $D=2.5$ см, $R=1.25$ см): $S = \pi R^2 = \pi (1.25)^2 = 1.5625\pi$. $h = \frac{V_{4ш}}{S} = \frac{\frac{2}{3}\pi}{1.5625\pi} = \frac{0.666...}{1.5625} \approx 0.426 \text{ см}$. **Ответ:** Уровень воды изменится примерно на 0.43 см.