Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 120°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 18√3.

1. Рассмотрим окружность с центром $O$ и радиусом $R$. 2. Хорда $AB$ проходит через центр, значит $AB$ — диаметр, $AB = 2R$. 3. Хорда $AC$ стягивает дугу $120^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOC = 120^\circ$. 4. Треугольник $\triangle AOC$ равнобедренный ($OA=OC=R$). Угол при вершине $\angle AOC = 120^\circ$, значит углы при основании $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 5. Рассмотрим $\triangle ABC$. Он вписан в окружность. Так как $AB$ — диаметр, $\angle ACB = 90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). 6. В прямоугольном $\triangle ABC$ угол $\angle BAC = \angle OAC = 30^\circ$. Тогда катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$, значит $BC = AB / 2 = (2R) / 2 = R$. 7. Найдем катет $AC$ из прямоугольного треугольника или по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 - BC^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2$, значит $AC = R\sqrt{3}$. 8. Площадь $\triangle ABC$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$. $18\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (R\sqrt{3}) \cdot R$ $18\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$ $18 = \frac{R^2}{2}$ $R^2 = 36$ $R = 6$ Ответ: 6.