9. Если функция имеет вид $y = \cos^2 2x$, то значение выражения $y'(-\frac{\pi}{8}) + y''(8\pi)$ равно ____.

Для решения задачи найдём первую и вторую производные функции $y = \cos^2 2x$. 1. Найдём первую производную $y'$, используя правило дифференцирования сложной функции: $y' = (\cos^2 2x)' = 2 \cdot \cos 2x \cdot (\cos 2x)' = 2 \cdot \cos 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -4 \cos 2x \sin 2x$ Используем формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $y' = -2 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = -2 \sin 4x$ 2. Найдём вторую производную $y''$: $y'' = (-2 \sin 4x)' = -2 \cdot \cos 4x \cdot (4x)' = -8 \cos 4x$ 3. Вычислим значения производных в заданных точках: - $y'(-\frac{\pi}{8}) = -2 \sin (4 \cdot (-\frac{\pi}{8})) = -2 \sin (-\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot (-1) = 2$ - $y''(8\pi) = -8 \cos (4 \cdot 8\pi) = -8 \cos (32\pi)$ Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то $\cos(32\pi) = \cos(0) = 1$: $y''(8\pi) = -8 \cdot 1 = -8$ 4. Найдём сумму: $y'(-\frac{\pi}{8}) + y''(8\pi) = 2 + (-8) = -6$ **Ответ: -6**