Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его площадь равна 36 дм^2. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.

Давай разберем задачу по шагам. Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Пусть радиусы оснований конуса равны $r$ и $R$, тогда основания трапеции равны $2r$ и $2R$. Высота трапеции равна высоте конуса $h$. **Дано:** - Трапеция — осевое сечение, диагонали перпендикулярны. - Одно из оснований равно 40 см ($2R = 40$ см, значит $R = 20$ см). - Площадь трапеции $S_{трап} = 36 \text{ дм}^2 = 3600 \text{ см}^2$. **1. Найдем высоту трапеции (высоту конуса $h$):** У трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь равна $S = \frac{(a+b)}{2} \cdot h$. Но также для таких трапеций верно, что площадь равна квадрату высоты, если бы это был треугольник. В общем случае, для трапеции с перпендикулярными диагоналями площадь $S = \frac{d_1 d_2}{2}$. Здесь проще использовать формулу площади через среднюю линию: $S = \frac{2r + 2R}{2} \cdot h = (r + R)h$. Также есть свойство: высота трапеции с перпендикулярными диагоналями $h = \sqrt{2r \cdot 2R} = \sqrt{4rR} = 2\sqrt{rR}$ — это не всегда так. Давай проще: $S = (r+R)h = 3600$. Так как диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований: $h = \frac{2r+2R}{2} = r+R$. Значит, $S = h^2 = 3600$, следовательно $h = 60$ см. Теперь, так как $r+R = 60$ см, а $R = 20$ см, то $r = 60 - 20 = 40$ см. *Стоп*, в условии сказано «одно из оснований», это может быть как верхнее ($2r$), так и нижнее ($2R$). Пусть $2R = 40$ ($R=20$), тогда $2r+2R = 2h = 120$ см. Значит $2r = 120 - 40 = 80$ см ($r=40$). Тогда образующая $l = \sqrt{h^2 + (r-R)^2} = \sqrt{60^2 + (40-20)^2} = \sqrt{3600 + 400} = \sqrt{4000} = 20\sqrt{10}$ см. **2. Боковая поверхность $S_{бок} = \pi(R+r)l$:** $S_{бок} = \pi(20 + 40) \cdot 20\sqrt{10} = \pi \cdot 60 \cdot 20\sqrt{10} = 1200\pi\sqrt{10} \approx 11923 \text{ см}^2$. **3. Полная поверхность $S_{полн} = S_{бок} + \pi R^2 + \pi r^2$:** $S_{полн} = 1200\pi\sqrt{10} + \pi(20^2 + 40^2) = 1200\pi\sqrt{10} + \pi(400 + 1600) = 1200\pi\sqrt{10} + 2000\pi = 400\pi(3\sqrt{10} + 5) \text{ см}^2$. **Ответ:** $1200\pi\sqrt{10} \text{ см}^2$ и $400\pi(3\sqrt{10} + 5) \text{ см}^2$.