Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y = 2x^2 + 8x - 3 в точке x_0 = -3.

Привет! Давай разберем эти задачи на геометрический смысл производной. Главное помнить: угловой коэффициент касательной $k$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Уравнение касательной имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. **Задание 1** Функция $f(x) = 2x^2 + 8x - 3$, $x_0 = -3$. Находим производную: $f'(x) = 4x + 8$. Вычисляем $k = f'(-3) = 4 imes (-3) + 8 = -12 + 8 = -4$. **Ответ: -4.** **Задание 2** Функция $f(x) = x + \frac{1}{x+1}$, $x_0 = 0$. 1. $f(0) = 0 + \frac{1}{0+1} = 1$. 2. Производная: $f'(x) = 1 - \frac{1}{(x+1)^2}$. 3. $f'(0) = 1 - \frac{1}{(0+1)^2} = 1 - 1 = 0$. 4. Уравнение: $y = 1 + 0 \times (x - 0) = 1$. **Ответ: $y = 1$.** **Задание 3** а) $f(x) = x - 3x^2$, $x_0 = 2$. 1. $f(2) = 2 - 3(2)^2 = 2 - 12 = -10$. 2. $f'(x) = 1 - 6x$. 3. $f'(2) = 1 - 12 = -11$. 4. Уравнение: $y = -10 - 11(x - 2) = -10 - 11x + 22 = -11x + 12$. б) $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$, $x_0 = -2$. 1. $f(-2) = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} = 0.25$. 2. $f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. 3. $f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^3} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4} = 0.25$. 4. Уравнение: $y = 0.25 + 0.25(x - (-2)) = 0.25 + 0.25(x + 2) = 0.25 + 0.25x + 0.5 = 0.25x + 0.75$. **Ответ: а) $y = -11x + 12$; б) $y = 0.25x + 0.75$.** **Задание 4** Функция $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x$, точка $M(3; 3)$. 1. Проверим значение функции: $f(3) = \frac{1}{3}(27) - 2(3) = 9 - 6 = 3$. Все верно. 2. $f'(x) = x^2 - 2$. 3. $f'(3) = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$. 4. Уравнение: $y = 3 + 7(x - 3) = 3 + 7x - 21 = 7x - 18$. **Ответ: $y = 7x - 18$.** **Задание 5** Функция $f(x) = 2\sqrt{x}$, $x_0 = 3$. 1. $f'(x) = 2 \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$. 2. $k = f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $k = \operatorname{tg}\alpha$, то $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, угол $\alpha = 30^\circ$ (или $\frac{\pi}{6}$ радиан). **Ответ: $30^\circ$.**