Найдите точку максимума функции y = 9 * ln(x - 4) - 9x - 7.

Для нахождения точки максимума функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю и определить характер критических точек. **Задача 12.9.** Найдите точку максимума функции $y = 9 \cdot \ln(x - 4) - 9x - 7$. 1. Найдем область определения функции (ОДЗ): $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$. 2. Найдем производную функции: $y' = (9 \cdot \ln(x - 4) - 9x - 7)' = 9 \cdot \frac{1}{x - 4} - 9 = \frac{9}{x - 4} - 9$. 3. Приравняем производную к нулю: $\frac{9}{x - 4} - 9 = 0 \Rightarrow \frac{9}{x - 4} = 9 \Rightarrow x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5$. 4. Проверим, является ли $x = 5$ точкой максимума. Рассмотрим знаки производной на интервалах $(4; 5)$ и $(5; +\infty)$: - Если $x = 4{,}5$, то $y' = \frac{9}{0{,}5} - 9 = 18 - 9 = 9 > 0$ (функция возрастает). - Если $x = 6$, то $y' = \frac{9}{2} - 9 = 4{,}5 - 9 = -4{,}5 < 0$ (функция убывает). Так как производная меняет знак с «+» на «−» при переходе через точку $x = 5$, то эта точка является точкой максимума. **Ответ: 5.**