Найдите точку минимума функции y = x³ - 14x² + 49x + 3. Найдите точку минимума функции y = x^(3/2) - 3x + 9. Найдите точку минимума функции y = x√x - 3x + 17.

Для нахождения точки минимума функции необходимо найти её производную, приравнять её к нулю (найти критические точки) и определить, в какой из них функция переходит от убывания к возрастанию. ### Задача 12.3 Найдите точку минимума функции $y = x^3 - 14x^2 + 49x + 3$. 1. Находим производную: $y' = 3x^2 - 28x + 49$ 2. Приравниваем к нулю: $3x^2 - 28x + 49 = 0$ $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 49 = 784 - 588 = 196 = 14^2$ $x_1 = \frac{28 + 14}{6} = 7$; $x_2 = \frac{28 - 14}{6} = \frac{14}{6} = 2\frac{1}{3}$ 3. Определяем знаки производной на промежутках: - При $x < 2\frac{1}{3}$ производная $y' > 0$ (функция растёт); - При $2\frac{1}{3} < x < 7$ производная $y' < 0$ (функция убывает); - При $x > 7$ производная $y' > 0$ (функция растёт). Точка минимума — это точка, где производная меняет знак с «$-$» на «$+$». Это точка $x = 7$. **Ответ: 7** ### Задача 12.4 Найдите точку минимума функции $y = x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9$ (при $x \ge 0$). 1. Находим производную: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3 = 1,5\sqrt{x} - 3$ 2. Приравниваем к нулю: $1,5\sqrt{x} = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ 3. Проверяем знаки производной: - При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $y' = 1,5 - 3 = -1,5 < 0$ (убывание); - При $x > 4$ (например, $x=9$): $y' = 1,5 \cdot 3 - 3 = 1,5 > 0$ (возрастание). $x = 4$ — точка минимума. **Ответ: 4** ### Задача 12.5 Найдите точку минимума функции $y = x\sqrt{x} - 3x + 17$ (при $x \ge 0$). Заметим, что $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$. Функция идентична функции из задачи 12.4 (отличается только свободный коэффициент, который не влияет на производную). 1. $y' = (x^{\frac{3}{2}} - 3x + 17)' = 1,5\sqrt{x} - 3$ 2. $1,5\sqrt{x} - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ Точка минимума $x = 4$. **Ответ: 4**