Билет №1. 1. Точки экстремума функции - это...

Привет! Давай разберем задачи из билета №1. 1. **Точки экстремума функции** — это точки, в которых функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение в окрестности (минимум или максимум). 2. $f(x) = x^4 - 2x^2$. Найдем производную: $f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$. Критические точки: $0, 1, -1$. Функция возрастает там, где $f'(x) > 0$. Интервалы: $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$. 3. Считаем клетки по формуле трапеции или просто суммируем площади. Основание нижнее: 4 клетки, верхнее: 2 клетки, высота: 3 клетки. Площадь: $\frac{4+2}{2} \cdot 3 = 9$ кв. ед. 4. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: $S_{бок} = \frac{1}{2} P l$, где $P$ — периметр основания, $l$ — апофема (высота боковой грани). 5. Конус: $l = 5$ (образующая), $h = 4$ (высота). Радиус $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$. Объем: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$. Площадь поверхности: $S = \pi r (r + l) = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 24\pi$. 6. Вектор $\vec{a} = (2; 3)$, $\vec{b} = (6; 4)$. Вектор $\vec{a} - \vec{b} = (2-6; 3-4) = (-4; -1)$. 7. Всего 18 деталей, 5 бракованных. Стандартных: $18 - 5 = 13$. Вероятность: $\frac{13}{18}$. 8. $C_{15}^{13} = C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105$. 9. Производная $f'(x) < 0$ там, где функция убывает. Это точки $x_3, x_4, x_9$. Всего 3 точки. 10. Цилиндр: нужно начертить два круга, соединенных боковой поверхностью. Высота $h$, радиус $r$. 11. $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$. Точки пересечения: $6 - x^2 = x + 4 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни: $x = -2, x = 1$. Площадь: $\int_{-2}^{1} (6 - x^2 - (x+4)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x]_{-2}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = 4,5$. 12. Раствор: $(2 \cdot 0,15 + 8 \cdot 0,10) / (2+8) = (0,3 + 0,8) / 10 = 1,1 / 10 = 0,11$ или 11%. 13. $4^x - 2^{x+3} + 15 = 0 \Rightarrow (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 15 = 0$. Пусть $t = 2^x$ ($t > 0$). $t^2 - 8t + 15 = 0$. Корни $t_1 = 3, t_2 = 5$. Значит $2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3$ и $2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$.