а) Решите уравнение cos^2x+sin^2(x-π/6)=3/4;

а) Решим уравнение $\cos^2 x + \sin^2(x - \frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4}$. Используем формулы понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ и $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. $\frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 - \cos(2x - \frac{\pi}{3})}{2} = \frac{3}{4}$ Умножим обе части на 2: $1 + \cos 2x + 1 - \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$ $2 + \cos 2x - \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1.5$ $\cos 2x - \cos(2x - \frac{\pi}{3}) = -0.5$ Применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$: $-2 \sin \frac{2x + 2x - \frac{\pi}{3}}{2} \sin \frac{2x - (2x - \frac{\pi}{3})}{2} = -0.5$ $-2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\pi}{6}) = -0.5$ $-2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) \cdot 0.5 = -0.5$ $-\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = -0.5$ $\sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 0.5$ Тогда: $2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies 2x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $2x - \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies 2x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) Найдем корни на отрезке $[5\pi; 6\pi]$. Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$: $5\pi \le \frac{\pi}{6} + \pi n \le 6\pi$ $5 - \frac{1}{6} \le n \le 6 - \frac{1}{6}$ $4\frac{5}{6} \le n \le 5\frac{5}{6} \implies n = 5$ $x = \frac{\pi}{6} + 5\pi = \frac{31\pi}{6}$ Для $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: $5\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 6\pi$ $5 - 0.5 \le n \le 6 - 0.5$ $4.5 \le n \le 5.5 \implies n = 5$ $x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2}$ Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{31\pi}{6}, \frac{11\pi}{2}$.