1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

### 1. Решение: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC = 70° опирается на дугу ADC. Угол CAD = 49° опирается на дугу CD. Угол CAD и угол CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит, они равны: $\angle CBD = \angle CAD = 49°$. Угол ABD = $\angle ABC - \angle CBD = 70° - 49° = 21°$. **Ответ: 21** ### 2. Решение: Окружность описана около равнобедренного треугольника ABC (AB = BC). $\angle ABC = 123°$. Угол ABC — вписанный, он опирается на дугу AC, которая не содержит точки B. Величина дуги AC = 2 * 123° = 246°. Тогда меньшая дуга AC = 360° - 246° = 114°. Центральный угол AOC опирается на меньшую дугу AC, значит, $\angle AOC = 114°$. В равнобедренном треугольнике AOC (AO = CO = R) углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA = (180° - 114°) / 2 = 66° / 2 = 33°$. Центральный угол BOC опирается на дугу BC. Так как AB = BC, дуги AB и BC равны. Дуга AC = 114°, значит дуга AB = дуга BC = (360° - 114°) / 2 = 246° / 2 = 123°. Центральный угол BOC = градусной мере дуги BC = 123°. **Ответ: 123** ### 3. Решение: Центр окружности лежит на стороне AB. Значит, AB — диаметр. Треугольник ABC — прямоугольный ($\angle C = 90°$ по свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр). Радиус R = 25, значит диаметр AB = 2 * 25 = 50. По теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $AC^2 + 48^2 = 50^2$. $AC^2 + 2304 = 2500$. $AC^2 = 196$. $AC = 14$. **Ответ: 14** ### 4. Решение: Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположных углов равна 180°. $\angle A + \angle C = 180°$. $37° + \angle C = 180°$. $\angle C = 180° - 37° = 143°$. **Ответ: 143** ### 5. Решение: По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R$. $\frac{26}{\sin 30°} = 2R$. $\sin 30° = 0,5$. $\frac{26}{0,5} = 2R$. $52 = 2R$. $R = 26$. **Ответ: 26**