1.13 Угол BCA равен 44°, а угол BAC равен 10°. Найдите вписанный угол CDA.

### Решение задач **1.13** Углы $BCA$ и $BDA$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. По свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, они равны: $\angle CDA = \angle BCA = 44^\circ$. **Ответ: 44** **1.14** По теореме синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AB}{\sin C} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. $R = \frac{AB}{2 \cdot \sin C} = \frac{110\sqrt{3}}{2 \cdot \sin 120^\circ} = \frac{110\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{110\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 110$. **Ответ: 110** **1.15** Внешний угол при вершине $B$ равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle A + \angle C = 102^\circ$. $23^\circ + \angle C = 102^\circ$. $\angle C = 102^\circ - 23^\circ = 79^\circ$. **Ответ: 79** **1.16** В треугольнике $ABC$ угол $C = 57^\circ$. Поскольку треугольник прямоугольный и $B$ — прямой угол (по условию и рисунку), $\angle A = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$. $BH$ — высота, значит $\triangle BHC$ прямоугольный, $\angle HBC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$. $BM$ — биссектриса, делит угол $B$ ($90^\circ$) пополам, значит $\angle ABM = \angle MBC = 45^\circ$. Угол между биссектрисой $BM$ и высотой $BH$ равен $\angle MBC - \angle HBC = 45^\circ - 33^\circ = 12^\circ$. **Ответ: 12**