1.13 Угол BCA равен 44°, а угол BAC равен 10°. Найдите вписанный угол CDA.

1.13. Углы $\angle BCA$ и $\angle BDA$ опираются на одну и ту же дугу $AB$. По свойству вписанных углов, $\angle BDA = \angle BCA$. Следовательно, $\angle BDA = 44^\circ$. Угол $\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA$. Однако, из рисунка видно, что $CD$ и $AB$ хорды. Вернемся к условию: угол $\angle CDA$ опирается на дугу $AC$. Аналогично, $\angle CDA = \angle CBA$. В $\triangle ABC$ сумма углов $180^\circ$. $\angle ABC = 180^\circ - (44^\circ + 10^\circ) = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$. По чертежу $D$ лежит на той же дуге, что и $B$, значит $\angle CDA = \angle CBA = 126^\circ$. Ответ: 126. 1.14. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin \angle C} = 2R$. Подставим значения: $\frac{110\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} = 2R$. Так как $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $\frac{110\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 110 \cdot 2 = 220$. Значит, $2R = 220$, откуда $R = 110$. Ответ: 110. 1.15. Внешний угол при вершине $B$ равен $\angle ABC_{ext} = 102^\circ$. Смежный с ним внутренний угол $\angle ABC = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle ABC) = 180^\circ - (23^\circ + 78^\circ) = 180^\circ - 101^\circ = 79^\circ$. Ответ: 79. 1.16. В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 57^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$. В $\triangle BHC$ (прямоугольный): $\angle HBC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ$. Биссектриса $BM$ делит угол $B$ на два по $45^\circ$, то есть $\angle ABM = 45^\circ$. Угол $\angle MBH = \angle ABC - \angle ABM - \angle HBC = 90^\circ - 45^\circ - 33^\circ = 12^\circ$. Ответ: 12.