Решим задачу по шагам. Задача: решить дифференциальное уравнение xy' = y + √(x^2 - y^2).

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его методом замены переменной. Данное уравнение: $xy' = y + \sqrt{x^2 - y^2}$ 1. Разделим обе части на $x$ (при $x \neq 0$): $y' = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2}$ 2. Сделаем подстановку: пусть $u = \frac{y}{x}$, тогда $y = ux$, а производная $y' = u'x + u$. 3. Подставим в уравнение: $u'x + u = u + \sqrt{1 - u^2}$ 4. Вычтем $u$ из обеих частей: $u'x = \sqrt{1 - u^2}$ 5. Разделим переменные: $\frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{dx}{x}$ 6. Проинтегрируем обе части: $\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \int \frac{dx}{x}$ $\arcsin(u) = \ln|x| + C$ 7. Вернемся к исходной переменной $u = \frac{y}{x}$: $\arcsin(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C$ 8. Выразим $y$: $\frac{y}{x} = \sin(\ln|x| + C)$ $y = x \sin(\ln|x| + C)$ **Ответ:** $y = x \sin(\ln|x| + C)$