Задание 1. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 7 см, и наклонная; угол между ними равен 45°.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Везде используем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных наклонной, её проекцией и перпендикуляром к плоскости. 1. Проекция наклонной: Так как угол между перпендикуляром и наклонной равен $45^\circ$, треугольник получается равнобедренным прямоугольным. Значит, длина проекции равна длине перпендикуляра. $x = 7$ см. **Ответ: 7 см.** 2. Две наклонные: Пусть $h$ — длина перпендикуляра, $x$ — проекция первой наклонной, тогда $x+9$ — проекция второй. Составим систему уравнений: $h^2 + x^2 = 10^2$ $h^2 + (x + 9)^2 = 17^2$ Вычтем первое из второго: $(x^2 + 18x + 81) - x^2 = 289 - 100$ $18x + 81 = 189$ $18x = 108 \implies x = 6$. Проекции: $6$ см и $6+9=15$ см. **Ответ: 6 см и 15 см.** 3. Попарно перпендикулярные отрезки: Так как $AB, AC, AD$ перпендикулярны, треугольники $\triangle ABD, \triangle ABC, \triangle ACD$ — прямоугольные с вершиной прямого угла в $A$. $BD^2 = AB^2 + AD^2 \implies 9^2 = AB^2 + 5^2 \implies 81 = AB^2 + 25 \implies AB^2 = 56$. $BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies 16^2 = 56 + AC^2 \implies 256 = 56 + AC^2 \implies AC^2 = 200$. $CD^2 = AC^2 + AD^2 \implies CD^2 = 200 + 25 = 225$. $CD = \sqrt{225} = 15$. **Ответ: 15 м.** 4. Нахождение проекции: Пусть $h$ — перпендикуляр, $x_1$ и $x_2$ — проекции наклонных $6.5$ см и $7$ см соответственно. Известно $x_2 = 3$ см. $h^2 + x_2^2 = 7^2 \implies h^2 + 3^2 = 49 \implies h^2 = 40$. Для первой наклонной: $h^2 + x_1^2 = 6.5^2 \implies 40 + x_1^2 = 42.25$. $x_1^2 = 2.25 \implies x_1 = 1.5$ см. **Ответ: 1.5 см.**