9.На плоскости даны точки A(0;0), B(3;0), C(1;2). Постройте точку D так, чтобы выполнялось равенство AB=CD. Найдите координаты D и длину CD.

### Решение задачи 9 1. Найдем длину отрезка $AB$: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. 2. Так как $AB = CD$, то длина отрезка $CD = 3$. 3. Координаты точки $D(x; y)$. Расстояние между $C(1; 2)$ и $D(x; y)$ равно 3: $\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2} = 3$ $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9$ Это уравнение окружности с центром в точке $C(1; 2)$ и радиусом 3. Существует бесконечно много таких точек $D$, лежащих на этой окружности. Если же задача подразумевает векторное равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$, тогда: $\vec{AB} = (3-0; 0-0) = (3; 0)$. $\vec{CD} = (x_D - 1; y_D - 2)$. Приравниваем компоненты: $x_D - 1 = 3 \Rightarrow x_D = 4$ $y_D - 2 = 0 \Rightarrow y_D = 2$ Точка $D$ имеет координаты $(4; 2)$, а длина $CD$ равна 3. **Ответ:** Координаты $D(4; 2)$, длина $CD = 3$ (в случае векторного равенства). ### Решение задачи 10 1. Пусть координаты вершин треугольника $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$, $C(x_C; y_C)$. 2. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$: $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$, $N = \left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right)$. 3. Найдем вектор $\vec{MN}$: $\vec{MN} = \left(\frac{x_A + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_C}{2} - \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_C - x_B}{2}; \frac{y_C - y_B}{2}\right)$. 4. Вектор $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B)$. 5. Заметим, что $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. 6. Длина отрезка $MN$ равна модулю вектора $\vec{MN}$: $|MN| = |\frac{1}{2}\vec{BC}| = \frac{1}{2}|BC|$. Следовательно, $MN = \frac{1}{2}BC$, что и требовалось доказать.