№5. 3^{x^2-10x+24} = 1

Решаю уравнения из списка: ### №5 $3^{x^2 - 10x + 24} = 1$ $3^{x^2 - 10x + 24} = 3^0$ $x^2 - 10x + 24 = 0$ По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10$ $x_1 \cdot x_2 = 24$ Корни $x_1 = 4, x_2 = 6$. **Ответ: 4; 6.** ### №6 $32 \cdot (\frac{1}{4})^{2+3x} = 8^{x-1}$ Приведем к основанию 2: $2^5 \cdot (2^{-2})^{2+3x} = (2^3)^{x-1}$ $2^5 \cdot 2^{-4-6x} = 2^{3x-3}$ $2^{5-4-6x} = 2^{3x-3}$ $1-6x = 3x-3$ $4 = 9x$ $x = \frac{4}{9}$ **Ответ: $\frac{4}{9}$.** ### №7 $3 \cdot 7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 1225$ Вынесем $7^{x+1}$: $7^{x+1} \cdot (3 \cdot 7 + 4) = 1225$ $7^{x+1} \cdot (21 + 4) = 1225$ $7^{x+1} \cdot 25 = 1225$ $7^{x+1} = 1225 / 25$ $7^{x+1} = 49$ $7^{x+1} = 7^2$ $x+1 = 2$ $x = 1$ **Ответ: 1.** ### №8 $36^x - 4 \cdot 6^x = 12$ Замена $t = 6^x$ ($t > 0$): $t^2 - 4t - 12 = 0$ $(t-6)(t+2) = 0$ $t_1 = 6, t_2 = -2$ (не подходит, так как $t > 0$) $6^x = 6^1$ $x = 1$ **Ответ: 1.** ### №9 $7 \cdot 49^x + 5 \cdot 14^x - 2 \cdot 4^x = 0$ Разделим обе части на $4^x$: $7 \cdot (\frac{49}{4})^x + 5 \cdot (\frac{14}{4})^x - 2 = 0$ $7 \cdot (\frac{7}{2})^{2x} + 5 \cdot (\frac{7}{2})^x - 2 = 0$ Замена $t = (\frac{7}{2})^x$ ($t > 0$): $7t^2 + 5t - 2 = 0$ Дискриминант $D = 25 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 = 9^2$ $t_{1,2} = \frac{-5 \pm 9}{14}$ $t_1 = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ $t_2 = \frac{-14}{14} = -1$ (не подходит) $(\frac{7}{2})^x = \frac{2}{7}$ $(\frac{7}{2})^x = (\frac{7}{2})^{-1}$ $x = -1$ **Ответ: -1.**