На координатной плоскости отметьте точки A(1;2) и B(4;6). Постройте вектор AB. Найдите его длину.

1. Координаты вектора $\vec{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4)$. Длина $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$. 2. Координаты $\vec{CD} = (3-0; 4-0) = (3; 4)$. Координаты $\vec{EF} = (4-1; 5-1) = (3; 4)$. Векторы равны, так как их соответствующие координаты равны. 3. Вектор $\vec{a}(2;3)$ и $\vec{b}(-4;-6)$. $\vec{b} = -2 \cdot \vec{a}$, значит, векторы коллинеарны (сонаправлены в разные стороны), но не равны, так как координаты не совпадают. 4. Вектор $\vec{m} = (5-2; 3-(-1)) = (3; 4)$. Вектор $\vec{n}$ равен $\vec{m}$, значит его координаты $(3; 4)$. Если начало в $M(-1; 2)$, то конец $N(x; y) = (-1+3; 2+4) = (2; 6)$. 5. Если $\vec{u}(a;5)$ и $\vec{v}(3;b)$ равны, то $a=3$, $b=5$. Длина $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$. 6. В параллелограмме $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (стороны параллельны и равны), $\vec{AO} = \vec{OC}$ (диагонали точкой пересечения делятся пополам). Доказательство: у равных векторов соответствующие координаты равны, а их длины и направления совпадают. 7. $\vec{r} = 2\vec{p} - \vec{q} = 2(1;4) - (-2;1) = (2; 8) - (-2; 1) = (2 - (-2); 8 - 1) = (4; 7)$. Длина $|\vec{r}| = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$. 8. Если векторы равны, то их координаты равны, а значит, равны и суммы квадратов координат (длины). Обратное утверждение неверно. Контрпример: $\vec{a}(1;0)$ и $\vec{b}(0;1)$. Оба имеют длину 1, но они не равны.